Elliptiset kätköt / Elliptic caches Mystery Cache

Tässä mysteerissä tutustumme elliptisiin käyriin ja laskemme purkin oikeat koordinaatit. Annetuissa koordinaateissa on aiheesta pidetty kursseja ja seminaareja, joten sieltä voi löytyä tarvittaessa apua. Tämän mysteerin on kuitenkin tarkoitus olla ihan suora lasku, jossa ei tarvitse oppia mitään, jos ei halua.

Elliptinen käyrä on kolmannen asteen tasokäyrä, josta löytää esimerkkikuvia ylläolevista linkeistä ja yhtälön alla olevasta teoriaosasta. Niiden ominaisuuksia ovat:

1. Kahden käyrällä olevan pisteen kautta piirretty suora leikkaa käyrän tarkalleen kolmessa pisteessä.
2. Käyrälle piirretty tangentti leikkaa käyrän tarkalleen kahdessa pisteessä.
3. y-akselin suuntaisesti piirretty suora leikkaa käyrän tarkalleen kahdessa pisteessä.

Ominaisuutta 1 (ja sen erikoistapauksia 2 ja 3) voidaan käyttää määrittelemään yhteenlaskuoperaatio (+) käyrän pisteille. Sovellusten kannalta on tärkeää, että tämä operaatio muodostaa ryhmän eli summa pysyy samassa porukassa kuin summattavat. Tässä tehtävässä tarkastelemme pisteitä, joiden koordinaatit ovat kokonaislukuja eikä mitään sen vaikeampaa.

Seuraavaksi teoriaosuus. Jos et ole kiinnostunut oppimaan matematiikkaa, katso tehtävä alta ja käytä kaavoja ihan vain mekaanisesti.

Tehtävä: Laske pisteen 3P=P+2P koordinaatit, kun P=(1558,8193) ja käyrä on

Homma onnistuu funktiolaskimella ja nelilaskimellakin, jos desimaaleja on riittävästi. Voit myös käyttää tietokoneen laskinta tai wepistä löytyviä laskimia kuten Magma calculator:ia. Kun piste 3P on löytynyt, tuijota koordinaatteja kunnes lamppu välähtää tai polla kärähtää.

Jotkut saattavat ihmetellä (tai sitten ei): "Miksi juuri tämä käyrä? Olisihan noita ollut vähän helpompiakin." No wepistä löytyy suoraan laskureita käyrille, joille A=B=0, ja se olisi ollut aivan liian helppoa. Toisekseen tämän käyrän torsioryhmä on Mazurin lauseen perusteella suurin mahdollinen eli siinä on 16 alkiota. Jos et saanut vielä laskea riittävästi, tarkista laskemalla, että 4P=-4P eli 8P=0 eli P tosiaan kuuluu torsioryhmään.

Purkille oma kynä mukaan.

[EN:] Briefly in English: Check the above links if you want to know more about elliptic curves. Otherwise just count 3P=P+2P with the point P and the curve (2) defined ten lines above. Use the given formulas above but be aware that the slope (lambda) is different for point doubling and point addition. The result should give you the final coordinates. Bring your own pen.