GC1KPNG Cachemöbe - Photon: Ein seltsames Wettrennen (Unknown Cache) in Bayern, Germany created by Ha-I-Pe

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GC1KPNG ▼

A cache by Ha-I-Pe Message this owner

Hidden : 1/12/2009

Difficulty:

Terrain:

Size: Size: small (small)

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Geocache Description:

Mathematik-Cache mit astronomischem und physikalischem Beiwerk. Und mit einem wirtschaftspolitischen Hintergedanken.
Der Cache befindet sich ca. 70 Hm höher als der Startpunkt.
Die angegebenen Koordinaten sind nur die eines möglichen Parkplatzes.
Bitte Vorsicht bei nächtlichen Besuchen: Wildschweine!

v1.0.5 (28.03.2022): Die nicht mehr funtionierende Grafik zu Aufgabe 1 wurde durch eine andere ersetzt und ans Ende verlegt (vor die "geloggten Aktionen"). Das Logo "Fränkischer Rotweinwanderweg" wurde entfernt.
v1.0.4 (22.10.2013): Kleinänderungen im Text (für die Cachesuche unerheblich).

Die Story
Eine „Cachemöbe“ (siehe Infos) und ein Photon (siehe Infos) vereinbaren ein Wettrennen:
• Die Cachemöbe sagt, sie könne sich zwar kaum bewegen (schon gar nicht mit Lichtgeschwindigkeit), aber ihre Nachkommen würden das Photon schon sehr bald überholen.
• Das Photon kann darüber nur lachen, denn es weiß die Lichtgeschwindigkeit auf seiner Seite.
• Die Cachemöbe fühlt sich ebenfalls sicher, denn sie kennt die Legende über die Belohnung, die der Erfinder des Schachspiels bekommen wollte, aber nicht bekommen konnte (jedenfalls nicht in absehbarer Zeit). Diese Legende kann man in sehr schöner Form hier nachlesen.

Informationen
• Wie du sicher weißt, ist eine Amöbe ein Einzeller. Sie reproduziert sich durch Teilung ihrer selbst in 2 neue Amöben. Das bedeutet, dass dabei keine Leiche entsteht.
• Amöben gibt es von ca. 0,09 mm (= 90 Mikrometer) bis zu 1 mm Größe. Die Zeitspanne zwischen 2 Zellteilungen beträgt im Allgemeinen mehrere Stunden. Näheres bitte bei Bedarf nachlesen, z. B. in der Wiki.
• Ein Photon kannst du dir als ein „Licht-Teilchen“ vorstellen. Es bewegt sich bereits ab dem Start

mit Lichtgeschwindigkeit, also mit ca. 300 000 km/s. Das entspricht 1 080 000 000 km pro Stunde.

Hilfsmittel
• Ein bisschen Liebe zur Mathematik und Respekt vor Zehnerpotenzen!
Hinweis: Der rein algebraische Lösungsweg führt zu einer schwer zu knackenden Gleichung! Aber man kann die Lösung auch mithilfe eines (Standard-) Computerprogramms und sogar durch Probieren mit dem (wissenschaftlichen) Taschenrechner finden.

Zurück zum Wettlauf zwischen Cachemöbe und Photon:
• Unsere, von irgendwo im Universum stammende „Alien-Cachemöbe“ hat folgende Eigenschaften:
- Sie ist kugelförmig mit einem Durchmesser von 1 mm.
- Da sie eine Alien-Amöbe ist, teilt sich völlig ohne Zeitverlust nach jeder Stunde. (Gott sei Dank soll unser Bruttosozialprodukt „nur“ um ein paar Prozent jährlich wachsen ...)
- Sie und alle ihre Tochterzellen können beliebig lange ohne Sonnenlicht, Nahrung, Wasser usw. auskommen.
- Die Tochterzellen erreichen sofort nach der Zellteilung ihren neuen Durchmesser von 1 mm.
- Die Cachemöbe ist auch im Vakuum, ohne Gravitation, bei ca. -273 °C (= 0 K) und trotz kosmischer Strahlung und anderer Einwirkungen überlebens- und unverändert teilungsfähig.
Wegen der kosmischen Hintergrundstrahlung würde es sogar genügen, wenn sie bei 3 K überleben könnte …

- Alle Tochterzellen legen sich so geschickt aneinander, dass eine gerade Linie entsteht, die im Folgenden als Fortpflanzungslinie bezeichnet wird. (In der Tabelle steht ein Sternchen für eine Cachemöbe.)

Am Anfang:	*	1 Cachemöbe
Nach der Teilung Nr. 1:	**	2 Cachemöben (keine 3, da es keine Leiche gibt)
Nach der Teilung Nr. 2:	****	4 Cachemöben

und so fort.

• Photon und Cachemöbe starten gleichzeitig und unmittelbar nebeneinander. Dabei verläuft die Fortpflanzungslinie der Cachemöbe stets parallel zum Flug des Photons.
• Hinweis für Physik-Fans: Relativistische Effekte bleiben in diesem Gedankenexperiment völlig außen vor.
• Die Lichtgeschwindigkeit setzen wir mit 300 000 km/s fest, damit lässt sich leicht rechnen

. Ob Vakuum oder nicht, ist hier wurscht.

Der Startschuss fällt, das Rennen geht los, die Menge jubelt ...
Das Photon fliegt schon mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung Zentrum der Galaxis ... Aber die Cachemöbe bereitet sich noch in aller Ruhe auf ihre erste Teilung vor, die ja erst in einer Stunde stattfinden wird ... Bis dahin ist das Photon aber schon 1 Lichtstunde weit geflogen! Und das sind ja immerhin 300 000 km/s * 3 600 s = 1 080 000 000 = 1,08 Milliarden km!

Aufgabe 1

Trotz des riesigen Vorsprungs, den das Photon bereits nach einer Stunde hat, wird die Fortpflanzungslinie der Cachemöbe das Photon irgendwann überholen! Die Frage ist nur: Nach der wievielten Teilung ist das der Fall?

Unten (vor den "geloggten Aktionen") gibt es eine grafische Darstellung der Wegstrecken (y-Achse) in Abhängigkeit von der Zeit (x-Achse).

Klarer gefragt: Nach der wievielten Teilung ist die Fortpflanzungslinie der Cachemöbe zum ersten Mal länger als die Flugstrecke des Photons?

Anmerkung: Zum Zeitpunkt t = 0 (bevor der Start erfolgt) ist die „Wegstrecke“ der Cachemöbe bereits gleich 1 mm, die des Photons erst = 0. Also hätte die Cachemöben-Fortpflanzungslinie bereits jetzt das Photon überholt. Aber das ist hier nicht gemeint, denn die gestellten Fragen sind keine Fang- oder Scherzfragen!

Ermittle die Nummer der Teilung, nach der die Fortpflanzungslinie der Cachemöbe zum ersten Mal länger als die Flugstrecke des Photons ist.

Notiere diese Zahl als T = ____________.
Wenn dein Ergebnis kleiner als 1 000 ist, hast du schon eine kleine Hürde genommen.

Aufgabe 2

Ermittle die Weglänge, abgerundet auf ganze Milliarden Kilometer, die das Photon bis zum Abschluss der Überholung geflogen ist.
(Milliarden heißen englisch „billions“, das könnte bei Internet-Recherchen vielleicht eine Rolle spielen.)

Notiere diese Zahl als W = _________.
Wenn dein Ergebnis kleiner als 1 000 ist, hast du eine weitere Hürde genommen.

Aufgabe 3

An wie vielen Fix(!)-Sternen könnte das Photon während seines Flugs bis zur Überholung vorbeigekommen sein (unsere Sonne nicht mitgezählt)?

Notiere diese Zahl als F = _______.
Wenn dein Ergebnis kleiner als 100 ist, hast du erneut eine Hürde genommen.

Berechnung und Suche
Die Berechnung ist deshalb so kompliziert, weil man sonst allzu leicht Schlüsse ziehen und rückwärts rechnen könnte.
• Berechne von den vorher gefundenen Ergebnissen T, W und F jeweils die Quersumme (QST, QSW, QSF).
Die folgende Tabelle kann zur Zusammenfassung dienen:

`T =`	`QST =`
`W =`	`QSW =`
`F =`	`QSF =`

• Ermittle für einige Divisionen den Rest, der bei der ganzzahligen Division bleibt.
Das geht ganz schnell sowohl mit einem Tabellenkalkulationsprogramm als auch mit einem gewöhnlichen Taschenrechner, wenn du dir überlegt hast, was zu tippen ist.
Anmerkung: Gesucht ist also jeweils: Rest = X mod Y.

`Rest der Division (T+QST+2+F)/QSW =`		`= A`
`Rest der Division (T+QST+F)/QSW =`		`= B`
`Rest der Division (T+QST+2)/QSW =`		`= C`
`Rest der Division (T+W+5)/QST =`		`= D`
`Rest der Division (T+W)/QST =`		`= E`

• Ermittle den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von T und W. GGT = _____

• Formeln für die Cache-Koordinaten:

N 49° 51 .[A] [B+2] [QSF+5] also: N 49° 51.__ __ __' E 009° 0[C+6].[D] [E] [GGT] also: E 009° 0__.__ __ __'

Deine Lösung für die Koordinaten dieses Rätsels kannst du auf geochecker.com überprüfen. Geochecker.com.

So kommst du zum Parkplatz:
• Nähere dich auf der B469.
• Nimm die Ausfahrt Großwallstadt-Süd/Obernburg-Nord.

So geht es weiter:
• Nimm den markierten Fränkischen Rotwein-Wanderweg.

Viel Erfolg und weiterhin Happy Caching!

Additional Hints (No hints available.)