Die Suche nach dem Mathe Magier Mystery Cache

Dies ist ein sehr mathematischer Cache im Herzen Karlsruhes. Die Aufgaben werden fast jeden zwingen, geignete Literatur zur Hand zu nehmen.

This is a maths cache located in the heart of Karlsruhe. The exercises below will force almost every cacher to consult suitable literature.

deutsch - see below for english text

Um an die Koordinaten dieses Caches zu gelangen, musst Du zunächst zwei Aufgaben aus der Geodäsie bzw. Mathematik lösen. Taschenrechner, Papier und Bleistift könnten ganz nützlich sein.

Die Koordinaten des Endcaches sind teilweise nach dem RSA-Verfahren verschlüsselt.
Aus einer Tafel mit drei Jahresangaben und einer Zahl in Textform lässt sich der zum Verschlüsseln verwendete öffentliche Schlüssel (e, n) herleiten. (der zum Entschlüsseln nötige Schlüssel muss errechnet werden)

Hierbei ist

Position der Tafel:

Position des Endcaches: (WGS84)
N 49° 0,(1131)'
O 8° 23,(229)'

Bitte im Log vermerken welche Hilfsmittel (Taschenrechner, Notebook, Bücher, keine Webseiten!) verwendet wurden und wie lange die Suche insgesamt gedauert hat.

Hinweise:

• Alle Orte befinden sich weniger als 2000m vom Karlsruher Schloss entfernt.
• Die Position des Endcaches liegt u.U. einige Meter daneben, da am Cache selbst GPS-Empfang nur sehr schlecht möglich ist.
• Der Endcache sollte tagsüber gehoben werden. Nach 20 Uhr steigt das Terrain-Rating.
• Die Position der Tafel ist im erdfesten kartesischen Koordinatensystem ECEF angegeben. Dabei wurde die Höhe über dem Ellipsoiden als 0 angenommen und nur der Längen- und Breitengrad berücksichtigt. Gerechnet wurde im WGS84, so dass der angegebene Punkt direkt auf dem WGS84-Ellipsoiden liegt. Wird mit einem anderen Ellipsoiden gerechnet so ergeben sich Abweichungen.
• Das erdfeste kartesische Koordinatensystem (ECEF) ist wie folgt definiert:
  

  Der Nullpunkt des Koordinatensystems liegt im Erdmittelpunkt.
  z-Achse	zum (geographischen) Nordpol
  x-Achse	auf der Äquatorialebene in Richtung des Nullmeridian.
  y-Achse	so gewählt, dass ein Rechtssystem entsteht (also auf der Äquatorialebene Richtung 90° Ost)

• Geodätische Länge/Breite/Höhe von Punkt P:
  

  Länge:	Winkel zwischen Gerade Mittelpunkt - Nullmeridian und auf die Äquatorialebene projezierte Gerade Mittelpunkt - P
  Breite:	Winkel zwischen Äquatorialebene und einer Geraden durch P, die senkrecht auf dem Referenzellipsoiden steht. (Diese Gerade geht i.A. nicht durch den Erdmittelpunkt)
  Höhe:	Höhe über dem Ellipsoiden (Länge des senkrechten (normalen) Geradenstücks zwischen der Oberfläche des Ellipsoiden und P)

• WGS84-Ellipsoid:
  

  große Halbachse	a = 6378137m (Abstand Mittelpunkt - Äquator)
  kleine Halbachse	b = 6356752.3142m (Abstand Mittelpunkt - Pole)
  Der Ellipsoid ist Symmetrisch bezüglich der Polachse.

• Das RSA-Verfahren findet sich in vielen Standardlehrbüchern, z.B.
  Cormen/Leiserson/Rivest/Stein: Introduction To Algorithms (Second Edition)
  und einigen neueren Büchern über Lineare Algebra.
• Bei Verknüpfung von Addition/Multiplikation mit Modulus gelten spezielle Rechenregeln (Restklassenring modulo n)
• Die nötige Literatur findet sich u.A. bei
  N49°0,671' O8°24,971' (WGS84) (Universitätsbibliothek Karlsruhe)
  N49°0,464' O8°23,939' (WGS84) (Badische Landesbibliothek Karlsruhe)
  
• Cacher von Auswärts bekommen auf Wunsch (und gegen Koordinaten) ein Foto von der ersten Stage per eMail.

english

To retrieve this cache's coordinates you will have to solve two exercises in geodesy and mathematics. A calculator, paper & pencil will help you on your way.

The coordinates of the final cache were partially encrypted using the RSA algorithm.
From a table with three years and a number in words you can derive the public key (e, n) used for encryption. (you will have to calculate the decryption key)

Position of the table:

Position of the final cache: (WGS84)
N 49° 0,(1131)'
O 8° 23,(229)'

Please log the tools used (calculator, notebook, books not listed, no websites please) and how long the whole search took you.

Hints:

• All points are within 2000 meters of the 'Karlsruher Schloss'
• You should seek the final Cache during daytime. Terrain rating increases after 8pm.
• The final cache's position may be off a few meters because of lousy GPS reception at the cache site.
• The table's position is given in the earth centered, earth fixed (ECEF) cartesian coordinate system.
  I used the WGS84 ellipsoid and set the height (above the ellipsoid) to zero to allow for an accurate analytic solution. Your results may be off if you choose another ellipsoid.
• Earth centered, earth Fixed X, Y, and Z
  Earth centered, earth-fixed, X, Y, and Z, Cartesian coordinates (XYZ) define three dimensional positions with respect to the center of mass of the reference ellipsoid.
  

  The Z-axis	points toward the North Pole.
  The X-axis	is defined by the intersection of the plane defined by the prime meridian and the equatorial plane.
  The Y-axis	completes a right handed orthogonal system by a plane 90° east of the X-axis and its intersection with the equator.

• Geodesic latitude, longitude, and height
  

  The Prime Meridian and the Equator are the reference planes used to define latitude and longitude.
  The geodesic latitude	of a point is the angle from the equatorial plane to the vertical direction of a line normal to the reference ellipsoid.
  The geodesic longitude	of a point is the angle between a reference plane and a plane passing through the point, both planes being perpendicular to the equatorial plane.
  The geodesic height	at a point is the distance from the reference ellipsoid to the point in a direction normal to the ellipsoid.

• WGS84-ellipsoid:
  

  semi-major axis	a = 6378137m (equatorial radius)
  semi-minor axis	b = 6356752.3142m (polar radius)

• The RSA algorithm is discussed in many standard textbooks, eg.
  Cormen/Leiserson/Rivest/Stein: Introduction To Algorithms (second edition)
  and some more recent books about linear algebra.
• There are some tricks to simplify RSA calculation. (residue class ring)
• You can find the literature you need at
  N49°0,671' O8°24,971' (WGS84) (University of Karlsruhe University Library)
  N49°0,464' O8°23,939' (WGS84) (Badische Landesbibliothek)
• Non-local cachers may request a photograph of the first stage via eMail. (with coordinates attached)