Niels Henrik Abel Mystery Cache

Abels liv

I 1815 begynne Niels Henrik på katedralskolen i Christiania. Familien hadde dårlig råd, så både Niels Henrik og den eldre broren Hans Mathias hadde friplass på skolen. Skolens matematikklærer på den tiden var Hans Peter Bader. Han underviste på gamlemåten og var kjent for å være ganske brutal. Hvis en elev hadde gjort noe galt gikk han ikke av veien for fysiske avstraffelser. I november 1817 slo han en elev så hardt at denne døde, og etter dette ble han fjernet fra stillingen.

Bernt Michael Holmboe ble da tilsatt i stillingen, og han ble Abels matematikklærer. Holmboe var en svært kunnskapsrik og dyktig matematikklærer, og før han fikk stillingen på katedralskolen hadde han vært assistent for professor Christopher Hansteen ved universitetet. Undervisningen til Holmboe var ganske forskjellig fra den gamle lærerens. Han begynte blant annet å gi elevene selvstendige oppgaver, noe som ikke var så vanlig på den tiden. Dette ser ut til å ha vært noe som gav gnisten til Abels interesse for matematikk, og etter kort tid oppdaget Holmboe at den unge studenten hadde enestående matematiske evner.

Holmboe ga deretter Niels Henrik privatundervisning og rettledet ham i den matematiske litteraturen. Niels Henrik fikk låne Holmboes matematikkbøker fra universitetet, og han studerte dem ivrig. En av bøkene som hadde stor påvirkning på ham var Leonhard Eulers innføringsbok i matematisk analyse. Det har blitt sagt at uten påvirkningen til Bernt Michael Holmboe er det ikke sikkert vi hadde hatt noen Abel (som den store matematiker han ble).

STUDENTTILVÆRELSEN

Som ung student hadde Niels Henrik sannsynligvis større kunnskaper i matematikk enn noen andre i Norge på den tiden. Etter at Holmboe hadde lært ham alt han kunne, hadde Abel studert videre i verkene til de store matematikerne, som Newton, Euler, Lagrange og Gauss. Det fantes ikke noen studier i realfag ved Det Kgl. Frederiks Universitet på den tiden, så da Abel hadde tatt de forberedende prøvene var det ikke så mye mer for ham å studere der, hvis han ikke skulle følge de vanlige embetsstudiene. Han måtte derfor studere på egen hånd.

Våren 1823 publiserte Abel en artikkel i Magazin for Naturvidenskaberne, som var det første vitenskapelige tidsskriftet i Norge. På denne tiden var det noen av professorene ved universitetet som forsto at Abel måtte utenlands for å lære mer, men mangelen på midler gjorde at han måtte bli i Christiania. Sommeren 1823 fikk han likevel muligheten til å reise til København og besøke Nordens fremste matematiker Degen. Det var under dette oppholdet Abel begynte studiene av elliptiske funksjoner, som han senere skulle bli så kjent for. Her møtte han også Christine Kemp, som han ble forlovet med året etter. De to ble forlovet i Son julen 1824 Abel var da privatlærer i matematikk der for Johan Fredrik Strøm, sønn av den lokale overtollbetjenten. Dette var noe han hadde tatt på seg som en tjeneste for sin venn studenten Morten Kjerulf, som underviste i latin og gresk, men som ikke var matematiker. I Son fikk Abel vite at en familie trengte en guvernante, og han var ikke sen om å foreslå jomfru Kemp.

UTENLANDSOPPHOLDET

I et sterkt ønske om å komme utenlands, skrev Abel et personlig brev til kong Karl III Johan, og til slutt fikk han sitt etterlengtede stipend. Høsten 1825 reiste han ut. Planen var at han skulle reise til Göttingen for å besøke Gauss, og deretter reise videre til Paris. Da han kom til København endret han derimot planene og reiste til Berlin i stedet. Her møtte han August Leopold Crelle, som var en matematikkinteressert ingeniør. Crelle hadde lenge ønsket å gi ut et matematisk tidsskrift som kunne ta opp kampen med de veletablerte franske, og våren 1826 kom første nummer av Journal für die reine und angewandte Mathematik ut (ofte kalt Crelles Journal). Her skulle Abel publisere det meste av det han skrev, og det var mye på grunn av artiklene til Abel at tidsskriftet raskt fikk ry som ett av Europas ledende.

Den første artikkelen Abel publiserte i Crelles Journal var en utvidelse av beviset for at en generell femtegradsligning ikke kan løses ved rotutdragning. Etter fire måneders opphold i Berlin reiste Abel videre i retning Paris. På Abels tid representerte Paris det viktigste matematiske miljøet i verden, og byen var ett av hovedmålene på den store utenlandsreisen. Her virket store matematikere som Cauchy, Poisson, Legendre og Fourier. Laplace var ikke lenger aktiv, men Abel hadde studert arbeidene hans og hadde stor respekt for ham. Sommeren 1826 kom han endelig til Paris, og han begynte arbeidet med den såkalte Paris-avhandlingen. Hovedfokus i denne avhandlingen er et addisjonsteorem for elliptiske integral. I oktober 1826 leverte han inn sin store avhandling til vitenskapsakademiet, og han ble værende ut året for å vente på svar. Svaret uteble, og Abel mistrivdes stadig mer i byen. I tillegg var han blitt syk, og han følte seg dårlig. Oppholdet i Paris ble en skuffelse for Abel. Han opplevde den store Cauchy som både sær og arrogant, og Poisson, Fourier og andre av matematikerne fra Paris jobbet stort sett bare med fysikk på den tiden. Ved årsskiftet 1826/1827 reiste Abel tilbake til Berlin. Han fikk da tilbud om å bli redaktør av Crelles Journal, men på grunn av hjemlengsel takket han nei. Crelle på sin side begynte å arbeide for å gi Abel en sikker stilling i Berlin.

HJEMKOMSTEN

Mens Abel var i Paris fikk han tuberkulose, og han var allerede merket av sykdommen da han vendte hjem i mai 1827. Stillingen i Berlin dro ut, og Abels lønnsbetingelser kom heller ikke i orden. Likevel fortsatte han arbeidet sitt, og på høsten 1827 arbeidet han først og fremst på den store avhandlingen om elliptiske funksjoner. Da denne avhandlingen var avsluttet tok han opp igjen arbeidet med ligningsteori. Gjennom sine publikasjoner i Crelles Journal begynte Abel så smått å oppnå berømmelse og anerkjennelse i utlandet, men hjemme i Norge levde han stadig under trange økonomiske kår. I september 1828 sendte Legendre, Poisson, Lacroix og Baron de Maurice et brev til kong Karl Johan om situasjonen til Abel. Målet var å få opprettet en stilling for Abel i Stockholm. Samtidig arbeidet Crelle stadig for å få opprettet et professorat for Abel i Berlin.

Abels forlovede, Christine Kemp, hadde fått stilling som guvernante på Froland Verk, og julen 1828 tilbrakte de sammen der. Abel var stadig mer preget av sykdommen, og da julefeiringen var over klarte han ikke å returnere til Christiania. Da han forsto at det begynte å gå mot slutten skrev han ned et sammendrag av beviset for det vi kaller for Abels addisjonsteorem. Dette ble sendt til Crelle. 6. april 1829 endte Abel sine dager i sykdom og fattigdom på Froland Verk. Kun få dager senere skrev Crelle gledesstrålende et brev fra Berlin der han kunne meddele at nå var Abel sikret fast stilling og en lysende framtid i byen.

Niels Henrik Abel døde bare 26 år gammel av tuberkulose. Han ligger begravd på Froland kirkegård.

Abels matematikk

LIGNINGSTEORIEN

Menneskene har i flere tusen år løst ligninger av ulike slag. De gamle babylonerne kunne løse andregradsligninger, mens italienske regnemestere som Cardano, Tartaglia og Ferrari fant metoder for å løse ligninger av tredje og fjerde grad. På Abels tid var en av de største utfordringene å finne en metode for å løse femtegradsligninger på samme måte som en kan løse ligninger av andre, tredje og fjerde grad. Man ønsket altså å finne en metode for å finne røttene av en generell femtegradsligning av typen:

a₁x⁵+ a₂x⁴+ a₃x³ + a₄x²+ a₅x + a₆ = 0

Det er derimot viktig å være klar over at Abel-Ruffinis teorem ikke sier at generelle femtegradsligninger er uløselige! Det setningen viser er at de ikke lar seg løse ved rotutdragning, slik tilfellet er for andre-, tredje- og fjerdegradsligninger. I algebraens fundamentalteorem viste Gauss lenge før Abels tid at alle slike ligninger har en løsning.

ELLIPTISKE FUNKSJONER

Elliptiske funksjoner kan på mange måter ses på som forenklinger av trigonometriske funksjoner (som for eksempel sinus- og cosinus-funksjonene). Man bruker elliptiske funksjoner for eksempel når man skal regne ut lengden på buene til ellipser eller svingradiusen til en pendel. Etter reisen til København i 1823 arbeidet Abel mye med slike funksjoner. Abels genistrek var å se på disse funksjonene på en helt annen måte enn det som var blitt gjort til da. I stedet for å studere selve funksjonene, så han på de omvendte funksjonene (omvendte funksjoner kalles også ofte for inverse funksjoner). Gjennom slike metoder, som Abel var først ute med, viste han blant annet at elliptiske funksjoner har to uavhengige perioder.

Også den tyske matematikeren Carl Gustav Jacob Jacobi arbeidet mye med elliptiske funksjoner på denne tiden, og det utviklet seg etter hvert et slags kappløp mellom ham og Abel. Da Abel var omtrent ferdig med sin teori, brukte han all sin energi på denne for å unngå at Jacobi skulle oppdage noe lignende og publisere det før ham. Resultatet ble at Abel var først ute, og han selv beskriver den endelige avhandlingen som «dødelsen av Jacobi» i et privat brev.

UENDELIGE REKKER

I matematikken er en rekke en sum av en endelig eller uendelig følge av tall. En endelig rekke kan behandles med verktøy fra elementær algebra, mens en uendelig rekke krever verktøy fra matematisk analyse.

To av de mest anerkjente matematikerne på Abels tid var Gauss og Cauchy, og de hadde ledet an i prosessen om å gjenopprette logisk stringens i matematikken. Abel var også opptatt av at matematiske setninger skulle ha strenge bevis. Ett av de områdene Abel kritiserte for mangel på stringente bevis dreide seg om uendelige rekker, og spesielt divergente rekker. I en avhandling om binomialformelen, som Abel mente ennå ikke var blitt bevist på en ordentlig måte, viste han hvordan uendelige rekker kunne behandles på en stringent måte. Gjennom denne avhandlingen ga dermed Abel et viktig bidrag til formaliseringen av teoriene om uendelige rekker.

PARISAVHANDLINGEN

Selv om Abels opphold i Paris ble en stor skuffelse, var det en periode hvor han var svært kreativ og produktiv. Det var her han skrev sin store avhandling om integraler av elliptiske funksjoner. Da han leverte den inn i slutten av oktober 1826 skrev han i et brev hjem: «Jeg tør uden Bram sige at den er god. Jeg er nysgjerrig efter at høre Institutets Dom.» I denne avhandlingen viste han sammenhenger mellom algebra, matematisk analyse og geometri som ingen tidligere hadde sett.

Det var den store Cauchy som fikk i oppdrag å bedømme Abels avhandling ved vitenskapsakademiet. Cauchy var derimot langt mer opptatt av egne ideer, og avhandlingen ble lagt til side og glemt. Like etter Abels død ble avhandlingen funnet igjen i Paris. Det franske akademiet bestemte da at den skulle trykkes, og at Abel skulle få akademiets store pris. Så ble avhandlingen borte igjen, og da Holmboe skulle gi ut Abels samlede verker i 1839 var det ikke mulig å få tak i den. Endelig ble den funnet igjen i 1841, og da ble den til slutt trykket. Kort tid etter dette ble avhandlinga sporløst borte igjen. Den ble ikke funnet før i 1959, da den norske matematikeren Viggo Brun til slutt klarte å spore den opp i Firenze. Nå blir originalmanuset oppbevart ved Universitetet i Oslo.

Arven etter Abel

Ved Abels hundreårsdag i 1902 var det planlagt en stor minnefest i Oslo, det skulle reises et monument, og det var snakk om å opprette en Abel-pris. Abel-festen ble avholdt med stor stas i september 1902. I anledningen ble det skrevet dikt og kantater, og det ble arrangert fakkeltog til minne om Norges største matematiker. I 1908 ble endelig Gustav Vigelands Abel-monument reist i Slottsparken, på det som nå kalles for Abelhaugen. Planene om en Abel-pris ble skrinlagt av ulike grunner. Først i forbindelse med markeringen av Abels 200-års jubileum ble ideen om en slik pris realisert, og nå er Abelprisen opprettet til minne om Niels Henrik Abel.

De senere årene har det blitt satt i gang en matematikk-konkurranse for 9. klassinger, KappAbel, som etterhvert har utviklet seg til å bli en Nordisk konkurranse, og Abelkonkurransen i matematikk for elever i videregående skole blir arrangert årlig som en del av kvalifiseringen til den internasjonale matematikk-olympiaden.

Flere matematiske begreper bærer hans navn, som abelske grupper og abelske kategorier.