A:Graphentheorie: f-Farben-Satz oder f-Farben-Problem:
Als erstes Problem will ich euch zum "Aufwärmen" das
f-Farben-Problem oder den f-Farben-Satz präsentieren.
Dieser Satz besagt, dass f Farben immer ausreichen, um eine beliebige Landkarte in der euklidischen Ebene so einzufärben, dass keine zwei angrenzenden Länder die gleiche Farbe bekommen.
Für 5 Farben habe ich dies in einem Seminar während meines Mathematik-Studiums bewiesen. Berühmt wurde ein erster Beweis, der mit Hilfe des Computers durchgeführt wurde. 1996 konnten Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour und Robin Thomas einen modifizierten Computerbeweis finden, der die problematischen Fälle auf 633 reduzierte. Diese 633 Fälle mussten dann auch per Computer bewiesen werden.
Erst 2004 haben Benjamin Werner und Georges Gonthier einen formalen Beweis des Satzes in dem Beweisassistenten Coq konstruiert. Dadurch ist es nicht mehr nötig, den Computerprogrammen zur Überprüfung der Einzelfälle zu vertrauen, sondern „nur“ dem Coq-System.
Der f-Farben-Satz war das erste große mathematische Problem, das mit Hilfe von Computern gelöst wurde. Deshalb wurde der Beweis von einigen Mathematikern nicht anerkannt, da er nicht direkt durch einen Menschen nachvollzogen werden kann. Schließlich muss man sich auf die Korrektheit des Compilers und der Hardware verlassen. Auch der Mangel an mathematischer Eleganz des Beweises wurde kritisiert.
Ihr müsst euch jetzt nicht mit den komplizierten Beweisen beschäftigen, sondern nur herausbekommen welche Zahl für f für das f-Farben-Problem steht. Gerne könnt ihr mal ausprobieren, ob ihr mit drei Farben auskommt.
B: Stochastik/Kombinatorik: 9 aus 99
Teil a)
Alle kennen ja das Lotteriespiel 6 aus 49 und wissen, dass die Wahrscheinlichkeit einen Sechser im Lotto zu haben 1/13.983.816 ist.
Ich möchte von euch jetzt wissen wie die Wahrscheinlichkeit für einen "Neuner" bei 9 aus 99 ist.
Nimm hier die zweite Ziffer von links des Nenners. Dies ist die Lösung für Na.
Teil b)
Als Teil b dieser Aufgabe möchte ich von euch wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit eines "Fünfers" im 9 aus 99 ist.
Nimm hier die Quersumme der ersten 5 Ziffern von links nach den Nullen. Für die Formel ist es egal, ob die fünfte Ziffer gerundet wird oder nicht. Dieses Ergebnis wird Nb
Übrigens ist ein Fünfer im "9 aus 99" ca. 10 Mal wahrscheinlicher als ein Fünfer im "6 aus 49".
C: Zahlentheorie/Algebra: Der große fermatsche Satz:
Nun führe ich euch in das Gebiet der Algebra und der Zahlentheorie.
Der große Fermatsche Satz wurde im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat formuliert, aber erst 1993 von Andrew Wiles und Richard Taylor bewiesen (1995 veröffentlicht).
Ich habe den Satz jetzt etwas umformuliert, so dass ich ihn in dieses Rätsel einbauen kann.
Fermatscher Satz (von BjoernBaer umformuliert).
Welches ist die größte natürliche Zahl n, so dass natürlichen Zahlen a,b und c existieren damit die Gleichung 
wahr ist.
(Ein bekanntes Beispiel hierzu ist 9 + 16 = 25.)
Es gibt zu dem Satz auch ein nettes Buch, welches auch von Nichtmathematikern gut gelesen werden kann: "Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels".
D: Nochmal Kombinatorik: Das Memory-Problem:
Teil a)
Vor kurzem spielte ich mit meinen Söhnen Memory. Claudius meinte, wir hätten die Karten nicht gut gemischt, da ein Paar nebeneinander lag. Ich sagte ihm, dass dies auch bei gutem Mischen öfters vorkommt. Wir wollen hier die Wahrscheinlichkeit (für viele Karten) dafür bestimmen, dass dies passiert.
Nimm die zweite Ziffer nach dem Komma für m.
Teil b)
Wie viele Paare, die nebeneinander liegen, findet man im Durchschnitt?
Sei P die Anzahl der Paare.
E: Stochastik: Diplomarbeit.
Meine Diplomarbeit habe ich über das Thema "Ein koordinatenfreier Zugang zum Satz von Gauß-Markov" geschrieben. Daher habe ich mich während meines Studiums viel mit dem Mathematiker Gauß beschäftigt.
Teil a)
Meinen Kindern habe ich folgende Geschichte von Gauß erzählt: Der junge Schüler Gauß bekam von seinem Mathematiklehrer die Aufgabe die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Gauß war nach wenigen Sekunden fertig. Er hatte folgende Zahlenpaare gebildet: 100+1, 99+2, 98+3 usw. Dies sind 50 Zahlenpaare und so kam Gauß zu folgendem Ergebnis: 101*50 = 5050.
Die Allgemeine Formel zu diesem Problem lautet:
Diese Formel wird häufig mit der folgenden Beweismethode bewiesen: Ga
a) Schubfachprinzip: Ga=1
b) Indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis): Ga=2
c) Nicht-konstruktiver Beweis: Ga=3
d) Vollständige Fallunterscheidung: Ga=4
e) Diagonalverfahren: Ga=5
f) Vollständige Induktion: Ga=6
(Es gibt noch andere Verfahren mit denen man den Satz beweisen kann. Diese habe ich hier nicht aufgeführt.)
Teil b)
Eine Formel von Gauß gefällt mir auch besonders, da sie die Eulersche Zahl e und Pi verbindet und zusätzlich etwas mit dem Kreis zu tun hat.
Nimm für Gb vom Ergebnis die 4. Ziffer von links nach dem Komma.
Über Carl Friedrich Gauß und Alexander von Humboldt habe ich auch ein interessantes Buch gelesen, welches auch gut von Nichtmathematikern verstanden werden kann: "Die Vermessung der Welt".
Formel:
N 48° P (n+Na).(n+m) (Trunc(Wurzel(Ga*Gb))+(Na-n)) (Gb-f)
E 9° 0 (Nb DIV 10).((Wurzel(Na+n))-P) (Gb+P) ((Nb MOD 7)-(Nb MOD 10))
Initialinhalt: Glasschmetterlin, Muschel, Steinkrokodil, 2 Marmorsteine aus der Toskana, Stift und Logbuch.
Der FTF erhält ein Mathematikbuch aus meiner Mathematikbibliothek.
Ich habe das Ergebnis von einem Mathematikprofessor und von einem promovierten Mathematiker prüfen lassen. Vom Professor habe ich noch eine "Anregung" erhalten. Ich denke, dass die Aufgabe und das Ergebnis korrekt sein sollten.
Euer Ergebnis könnt ihr auch bei Geochecker prüfen lassen:
Geochecker.com.
Weitere ungelöste Probleme der Mathematik findet ihr unter diesem Link: (visit link)