Hotelling's Erben
Die Insel Quadratis ist schachbrettartig aufgeteilt in 24 mal 24 gleich große quadratische Felder. Auf jedem dieser Felder produziert ein Bauer Rüben für jeweils eine von vier gewinnmaximierenden Zuckerfabriken (A, B, C, D), die jeweils an den Eckpunkten der Insel einen Hafen gebaut haben, von dem sie die Rüben zu ihrer Fabrik transportieren.
Jeder Bauer liefert an die Fabrik, die ihm an seinem Standort den höchsten Nettopreis zahlt. Dieser Nettopreis NP entspricht dem Rübenpreis Pfob am jeweiligen Hafen abzüglich der Transportkosten dorthin. Die Transportkosten steigen proportional zur Entfernung E mit der Rate Tkr an. Diese Entfernung errechnet sich durch Anwendung des Satzes des Pythagoras auf die Koordinatendifferenzen, wobei die Koordinaten des Hafens von A (0;0) sind und die der anderen Fabriken entsprechend (0;25), (25;0) und (25;25). Bieten mehrere Fabriken einem Bauern gleiche Nettopreise, wird die Produktion anteilsmäßig verkauft.
Die Bauern produzieren auf ihren Feldern umso intensiver, je höher der Nettopreis ist. D.h., ihre jeweilige Produktionsmenge X = NP.
Die Rüben haben für die Zuckerfabriken am Hafen jeweils einen Wert W = 5 je Einheit. Die Transportkostenrate Tkr beträgt 0,1 je Rüben- und Entfernungseinheit.
(i) Welchen Preis Pfob a,bc (auf zwei Nachkommastellen runden) sollte Zuckerfabrik A zahlen, wenn sie ihren Gewinn maximieren möchte und die Zuckerfabriken B, C und D zugleich einen Preis von Pfob= 4 zahlen? Wie hoch ist der Gewinn G=def (auf ganze Zahl gerundet) von A?
(ii) Die Zuckerfabriken schließen sich zu einem Kartell zusammen. Welchen Preis Pfob=g,hi (auf zwei Nachkommastellen genau runden) zahlen sie am Werk? Wie hoch ist der Gewinn G=jkl (auf ganze Zahl gerundet) jedes Unternehmens?
(iii) Das Kartell zerfällt. Zuckerfabrik A prüft als neue Strategie den Bauern einen Teil ihrer Transportkosten zu erstatten. Angenommen B, C und D zahlen einen festen Preis von Pfob= 4. Welchen Transportkostenanteil TA = m,n übernimmt A idealerweise (gerundet)? Wie hoch ist der maximal erzielbare Gewinn GA =opq (auf ganze Zahlen gerundet)?
(iv) Die Unternehmen B, C und D sind von A's Strategie begeistert und reagieren darauf und prüfen ebenfalls eine Transportkostenbeteiligung und passen dazu auch den Preis am Werk an. Es beginnt ein Wettbewerb, bei dem die Unternehmen jeweils optimale Antworten auf die Strategien ihrer Konkurrenten bestimmen. Welche Preise und Transportkostenanteile stellen sich etwa ein? P = r,s und TA = t,u (eine Nachkommastelle, ungerundet)! Wie hoch ist A's Gewinnrelation gegenüber (iii) von GA(iv)/GA(iii)= vw % sowie die Gewinnrelation des ihm diagonal gegenüber liegenden Unternehmens C für die Fälle (iv) und (iii), d.h. GC(iv)/GC(iii)=xyz % (jeweils auf ganze Prozente gerundet)?
Die Koordinaten des Finals finden sich jetzt unter:
N = 51° (g+n)(i+t).(v+r)(y-l)(z-w-w)'
E = 11° (e-b)(j+l).(p-f+x)(u-k)(q+c)'
Die Koordinaten lassen sich mit geochecker.com überprüfen!
Zum Abschluss ein Hinweis: Der Ausgangspunkt des Caches befindet sich im Naturschutzgebiet "Nordspitze Peißnitz". Falls Ihr in das Naturschutzgebiet kommt, bleibt bitte auf den markierten Wegen!