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PI-Kreiszahl

A cache by Divesnake Send Message to Owner Message this owner
Hidden : 04/21/2012
Difficulty:
5 out of 5
Terrain:
4 out of 5

Size: Size: small (small)

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Geocache Description:

Bei diesem Cache dreht sich alles um die Kreiszahl PI, die sicher jeder noch aus der Schule kennt.
An 3,14 kann sich jeder erinnern. Doch das Ende der Berechnung von PI ist noch nicht in Sicht.

Hier schon mal PI mit einer Gegaunigkeit von 8.000 Stellen.

3.1415926535897932384626433832795028871971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170
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Die Geschichte der Kreiszahl beginnt schon sehr frueh.

Kaum eine andere Zahl hat die Menschen in ihrer Geschichte mehr beschaeftigt und fasziniert als die Kreiszahl PI.
Schon vor den Griechen suchten Menschen nach dieser geheimnisvollen Zahl, und obwohl die Schaetzungen immer genauer wurden,
gelang es erstmals dem griechischen Mathematiker Archimedes um 250 v. Chr., die Zahl mathematisch zu bestimmen.
In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur groesstmoeglichen Annaeherung an PI phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd,
die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Zuege annahm.

Die alltaegliche Praxis draengt zu ersten Schaetzungen

Aus praktischen Erwaegungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr frueher Zeit, dem Phaenomen Kreis naeher zu kommen.
Sollten Raeder beschlagen werden, war es wichtig zu wissen, welchen Umfang der Beschlag haben musste.
Sollte eine Saeule mit einem Kranz verziert werden, war der Umfang des Kranzes zu bestimmen.
Sollte ein Fass mit Wein oder Quellwasser gefuellt werden, interessierten sich unsere Vorfahren fuer das noetige Volumen.

Dabei beziehen sich die aeltesten Ueberlieferungen immer auf konkrete Objekte; ob die mathematische Gesetzmaessigkeit erkannt wurde, ist unklar.
So liess der Bibel zufolge Koenig Salomo durch den Kupferschmied Hiram von Tyrus fuer den israelitischen Tempel ein rundes Wasserbecken herstellen:
„Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und mass 10 Ellen von einem Rand zum anderen; es war voellig rund und 5 Ellen hoch.
Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen.“
Somit laesst sich fuer das beschriebene Objekt ein Verhaeltnis von Umfang zu Durchmesser mit dem Wert 3 folgern.
Man kann annehmen, dass eine ungenaue Messung oder Ueberlieferung von Umfang und Durchmesser vorliegt.

Den Wert 3 nutzte man auch im alten China. Genauer waren die Angaben in Aegypten.
Das aelteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 17. Jahrhundert v. Chr.),
nennt den Wert (16/9)^2 ca. 3,1604 . Als Naeherung fuer PI benutzten die Babylonier 3 oder auch 3+1/8=3,125.
In Indien benutzte man in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altaeren, den Wert (26/15)^2 ca. 3,0044 fuer PI.
Der indische Mathematiker Aryabhata bestimmte im 6. Jahrhundert den Wert der Kreiszahl fuer damalige Verhaeltnisse sehr genau auf 3,1416.

Archimedes von Syrakus

Die Summe der Flaechen der grauen „Moendchen“ entspricht der Flaeche des rechtwinkligen Dreiecks
Fuer Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) und noch fuer viele Mathematiker nach ihm war unklar,
ob die Berechnung von PI nicht doch irgendwann zum Abschluss kaeme, ob PI also eine rationale Zahl sei,
was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verstaendlich werden laesst.
Zwar war den griechischen Philosophen seit dem Satz des Pythagoras mit der Irrationalitaet von sqrt(2) die Existenz derartiger Zahlen bekannt,
dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flaechenberechnung auszuschliessen.
Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flaechen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind,
die sich als rationale Zahl darstellen lassen wie die Moendchen des Hippokrates.
Erst 1761/1767 konnte Johann Heinrich Lambert die Irrationalitaet von PI beweisen, auch wenn die Mathematiker dies schon lange vermutet hatten.

Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken

Archimedes, Gemaelde von Domenico Fetti, 1620
Archimedes versuchte wie auch andere Forscher, sich mit Vielecken dem Kreis anzunaehern und auf diese Weise Naeherungen fuer PI zu gewinnen.
Er bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhaelt wie die Flaeche des Kreises zum Quadrat des Radius,
das jeweilige Verhaeltnis ergibt also in beiden Faellen die gleiche Groesse (die Kreiszahl).
Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken fuer den Kreisumfang.
Er kam zu der fuer die damalige Zeit aeusserst bedeutsamen Abschaetzung, dass das gesuchte Verhaeltnis etwas kleiner als 3+10/70 sein muesse,
jedoch groesser als 3+10/71.

Genauer und genauer – von Zu Chongzhi ueber Ludolph van Ceulen zu John Machin

Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen
eine sehr lange Zeit der Stagnation nach Ende der Antike und waehrend des Mittelalters.
Quelle des Fortschritts in der Annaeherung an PI waren in dieser Zeit vor allem chinesische und persische Wissenschaftler.
Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Huy aus dem 192-Eck die Schranken 3,141024 und 3,142704,
spaeter aus dem 3072-Eck den Naeherungswert 3,14159.
Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chong-Zhy (430–501) fuer die Kreiszahl 3,1415926 < PI < 3,1415927,
also im Grunde die ersten 7 Dezimalstellen exakt. Er kannte auch den fast genauso guten Naeherungsbruch 355/113
(das ist der dritte Naeherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von PI), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde.
Der persische Wissenschaftler Dschamschid Mas´ud al-Kaschi berechnete bereits 1427 mit einem 3·228-Eck PI auf 16 Stellen genau.

Doch im 16. Jahrhundert erwachte dann auch in Europa die Mathematik wieder aus ihrem langen Schlaf.
1596 gelang es Ludolph van Ceulen, die ersten 35 Dezimalstellen von PI zu berechnen.
Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens fuer diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei.
Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber waehrend Archimedes beim 96-Eck aufhoerte,
fuehrte Ludolph diese bis zum eingeschriebenen 2^{62}-Eck fort. Der Name ludolphsche Zahl erinnert an seine Leistung.

Der franzoesische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flaecheninhalt
eines Kreises durch eine Folge eingeschriebener 2^n-Ecke annaeherte. Daraus leitete er als erster eine geschlossene Formel fuer PI
in Form eines unendlichen Produktes ab.

John Wallis, 1616–1703

Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt.
Wallis zeigte 1655 diese Reihe Lord Brouncker, dem ersten Praesidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch darstellte.
Gottfried Wilhelm Leibniz. Portraet von B. Chr. Francke, um 1700 Allmaehlich wurden die Rechnungen komplizierter,
Kreiszahlberechnung nach Leibniz. Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt, Leibniz entdeckte sie fuer die europaeische Mathematik neu
und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die Reihenentwicklung des Arcustangens,
die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670ern fand war Grundlage vieler Approximationen von PI in der folgenden Zeit.
John Machin berechnete mit seiner Formel von 1706 die ersten 100 Stellen von PI.

Leonhard Euler, 1707–1783, fuehrte in seiner im Jahre 1748
erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande PI bereits auf 148 Stellen genau an.
Johann Heinrich Lambert publizierte 1770 einen Kettenbruch. Pro Schritt ergeben sich etwa 0,76555 Dezimalstellen,
was im Vergleich mit anderen Kettenbruechen mit Bildungsgesetz hoch ist, sodass sich dieser Kettenbruch besonders gut zur
Berechnung von PI eignet.
Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Naeherung 22/7 ca. 3,142857 und berechneten damit vieles im Kopf.
Der Fehler gegenueber PI betraegt etwa 0,04 %. Fuer alltaegliche praktische Situationen war das voellig ausreichend.

Wer noch mehr Informationen braucht kann diese unter http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl finden.
Dies habe ich auch als Quelle fuer diese Informationen verwendet.

Doch nun zum Cache, wer sich bis hier alles genau durch gelesen hat, sollte schon den ersten Hinweis zum Final gefunden haben.
Nun gilt es noch ein wenig zu knobeln, bis ihr die Finalkoordinaten habt.
Dort angekommen, warten weitere Huerden auf euch.
Daher die hohe Terrainwertung. Es muss jedoch weder geklettert noch getaucht werden. Doch etwas Zeit und die uebliche ECA wird benoetigt.

# Letzte Cachekontrolle: 22.04.2013 #

Happy Hunting.


Obwohl die Koordinaten klar zu erkennen sein sollten, hier noch die Möglichkeit eure Lösung zu checken:

Additional Hints (Decrypt)

Qerug rhpu avpug mh fpuaryy vz Xervf haq znpug rvar Cnhfr oribe vue nasnatg Fgrear mh frura, qraa qnaa frvg vue nhs qrz Ubymjrt.

Decryption Key

A|B|C|D|E|F|G|H|I|J|K|L|M
-------------------------
N|O|P|Q|R|S|T|U|V|W|X|Y|Z

(letter above equals below, and vice versa)



 

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