Fibonacci Mystery Cache

Aufbau des Caches

• Wo diese drei Stationen liegen ergibt sich aus Rätseln in diesem Listing, die vollständig „indoor” lösbar sind. Zu jeder Station gibt es zwei Lösungszahlen N und E. Die Station liegt immer bei
  Nord 49° [23 + N/1000]'
  Ost 6° [43 + E/1000]'
• Bei jedem Rätsel ist eine Zahl K angegeben, mit der die eigene Lösung für N und E mit geringer Irrtumswahrscheinlichkeit kontrolliert werden kann: Bei richtiger Lösung ist K die Quersumme von N²+E². Nicht-natürliche Lösungszahlen sind dazu auf natürliche Werte zu runden.
• An jeder der Stationen ist ein weiteres Rätsel zu lösen, das zwar ebenfalls in diesem Listing gestellt wird, sich allerdings auf Daten bezieht, die erst vor Ort gegeben werden. Aus den Lösungen X, Y und Z dieser Vor-Ort-Rätsel lassen sich die Koordinaten des Finals berechnen. Das Final liegt bei
  Nord 49° [23 + (Y+X²)/1000]'
  Ost 6° [43 + (79+(928−Z)·X²)/1000]'
• Alle Rätsel haben etwas zu tun mit der Folge der Fibonacci-Zahlen. Die einzelnen, durchnummerierten Glieder dieser Folge heißen im Folgenden F_n mit ihrer Nummer n als Index. Die Folge beginnt mit F₁=1 und F₂=1. Jedes weitere Glied ist so groß wie seine beiden vorangehenden Glieder zusammengezählt. Es sind also F₃=F₁+F₂=1+1=2 und F₄=F₂+F₃=1+2=3. Man erhält weiter F₅=5, F₆=8, F₇=13 und so fort.

  Die Fibonacci-Folge kann auf unterschiedlich hohem mathematischen Niveau nach einigen Gesichtspunkten untersucht werden. Ein einfacher Aspekt ist die regelmäßige Abfolge gerader und ungerader Glieder: Ist F₁₀₀₀₀₀ gerade oder ungerade? Schwieriger ist der Zusammenhang zwischen der Nummer eines Gliedes und seiner Größenordnung: Wie viele Stellen hat F₁₀₀₀₀₀ wohl?

Station „Folge”

• Wie lautet die 14. Fibonacci-Zahl? Diese Zahl ist E
  Also kurz: E=F₁₄
• Bilde das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen irgendwo ab dem 14. Glied. Am einfachsten also F₁₄/F₁₅, Du kannst aber auch z.B. F₁₀₀/F₁₀₁ bilden. Das Tausenfache dieses Verhältnisses ist N.
  Auch hier in Kurzfassung: N=1000·F₁₄/F₁₅
• Die Kontrollzahl ist K=19
• An der Station befindet sich ein bestimmter Fichtenzapfen. Auf ihm sind einige Schuppen lackiert, die einen spiraligen Weg um den Zapfen bilden. Wie viele zueinander „parallel” verlaufende Spiralen (einschließlich der lackierten) verlaufen insgesamt über die Oberfläche des Zapfens? Die Antwort ist die Zahl X in der Formel für die Final-Koordinaten. Zur Kontrolle: X ist eine Fibonacci-Zahl.

  Nebenbei: Wie viele analog gebildete Spiralen winden sich in entgegengesetztem Drehsinn um den Zapfen?

  Dieses Bild soll verdeutlichen, was mit den Spiralen gemeint ist:

Station „Bruch”

Kontrollzahl K=25

An dieser Station befindet sich ein Kärtchen, auf dem eine große - und deshalb in mehrere Zeilen umgebrochene - und drei kleinere Zahlen stehen. Die große ist eine Fibonacci-Zahl, und eine der kleineren ist ihre Nummer. Diese richtige Nummer ist Y für die Final-Berechnung.

Station „Geometrie”

Kontrollzahl K=36

Auch an dieser Station befindet sich ein Kärtchen, auf dem eine große - und deshalb in mehrere Zeilen umgebrochene - und drei kleinere Zahlen stehen. Die große ist eine Fibonacci-Zahl, und eine der kleineren ist ihre Nummer. Diese richtige Nummer ist Z für die Final-Berechnung.