GC5AAKY Die Gauß'sche Normalverteilung (Unknown Cache) in Niederösterreich, Austria created by Ruthimentär

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Hidden : 8/5/2014

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Geocache Description:

Dieser Cache ist der Gauß'schen Normalverteilung gewidmet.

Öfter als man glaubt, begegnen einem im Alltag normalverteilte Dinge. Seien es Messfehler oder Ungenauigkeiten aller Art, Schwankungen bei der Prognose von Niederschlagsmengen, Zuschauerzahlen einer Serie, Haltbarkeit und Gewicht von Lebensmitteln, Berechnung von Risikokapital bei Versicherungen, Bewegung der Moleküle oder Testergebnisse (z.B. PISA) - sie allen haben eine Gemeinsamkeit.

Form und Formel

Die Normalverteilung hat 2 Parameter, nämlich µ und σ.
Dabei ist µ (My, gesprochen "Mü") der Mittelwert der Daten und
σ (Sigma) die Standardabweichung (durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert).
Zur Vereinfachung beschäftigen wir uns nur mit der Standardnormalverteilung (µ=0, σ=1).

Eine Dichtefunktion beschreibt, wie wahrscheinlich die möglichen Elementarereignisse auftreten. Allerdings ist hier zu beachten, dass nur Intervalle Wahrscheinlichkeiten besitzen, da es sich um eine stetige Verteilung handelt und dabei Punkte die Wahrscheinlichkeit 0 haben.
Beispiel: Es sollen Melonen abgewogen werden.
Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wiegt eine Melone genau 1kg?
Wenn nun eine grobe Waage 1kg anzeigt, so kann eine genauere Waage eventuell mehr Kommastellen anzeigen, wobei die Melone dann vielleicht 0,999 oder 1,001 kg wiegt. Für das Messen ist natürlich die Genauigkeit beschränkt, allerdings wird es keine Melone geben, die auf unendlich viele Kommastellen genau 1 kg wiegt. Deswegen ist es bei stetigen Merkmalen vernünftiger mit Intervallen zu rechnen. Eine Fragestellung, wie etwa - Mit welcher Wahrscheinlichkeit wiegt eine Melone zwischen 0,9 und 1,1 kg? - kann hingegen gelöst werden.

Die Verteilungsfunktion gibt an, wie viele Werte kleiner als ein gewisser Wert sind.
In der obigen Grafik ist beispielweise Φ(1)=0,841... eingezeichnet (siehe grüne Fläche). Das bedeutet, dass bei standardnormalverteilten Daten in etwa 84,1% kleiner als 1 sind, oder anders ausgedrückt, zwischen -∞ und 1 liegen.

Mathematische Eigenschaften der Normalverteilung

Dichte (stetig und Fläche unter der Kurve = 1)
Symmetrie
Erwartungswert = Median
Maximum Likelihood und Kleinste Quadrate liefern dieselben Parameterschätzungen
Unkorreliertheit zweier Normalverteilungen impliziert Unabhängigkeit (als einzige Verteilung!)
Grenzwert der Binomialverteilung bei großen Stichproben - Wichtig z.B. im Glücksspiel
Streckungen und Verschiebungen sind wieder normalverteilt
bildet reelle Zahlen von -∞ bis ∞ auf den Bereich [0,1] ab (Verteilungsfunktion)

Anwendungen der Normalverteilung

Beschreibung vieler Vorgänge
Erstellung von Prognosen und Konfidenzintervallen
Zentraler Grenzwertsatz
Gesetz der großen Zahl
Intelligenzquotient ist durch Normalverteilung definiert
Kleinste-Quadrate-Methode (Least Squares Estimator)
Weißes Rauschen
Model-based Clustering
Normalverteilte Daten sind Voraussetzung für die Gültigkeit vieler Verfahren

Gauß und seine Normalverteilung auf der 10 D-Mark Banknote

Die Bedeutung des Intelligenzquotienten ist definiert durch die Normalverteilung. Dabei hat eine Grundgesamtheit (ganze Bevölkerung oder etwa eine Altersklasse) den Mittelwert 100 (µ=100) und die Standardabweichung 15 (σ=15). Das bedeutet, dass eine durchschnittliche Person einen IQ von 100 besitzt und die meisten Personen (~68%) einen IQ zwischen 85 (100-15) und 115 (100+15) haben. Ein IQ von 110 bedeutet beispielweise, dass die betreffende Person intelligenter ist als 74,75% der Grundgesamtheit.

Normalverteilung als Monster von Loch Ness

Das Rätsel

Da jetzt jede Menge Normalverteilungsexperten unter uns sind, dürfte die anschließende Aufgabe gar nicht so schwer sein.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable kleiner ist als U bzw. V!

U=0.484403
V=0.467028

Wer möchte, kann dies auch online berechnen, dabei hilft dir Wolfram Alpha.
Als Schreibweise (=Input für Wolfram Alpha) genügt P(X<U) bzw. P(X<V). Für U und V müssen natürlich die jeweiligen Zahlen eingesetzt werden.

P(X<U) = Y
P(X<V) = Z

Je nach verwendetem Programm kann es sein, dass Y und Z auf 5 Kommastellen gerundet werden müssen.

Die Final Koordinaten ergeben sich daraus wie folgt

N 48° Y*100-50
E 16° Z*100-50

Zur Interpretation:
Y ist der Anteil der Fläche, die links von U ist verglichen mit der ganzen Fläche unter der Kurve.
Y*100-50 ist daher der %-Anteil der Fläche, der zwischen 0 und U liegt.
*100, weil Anteil -> %-Anteil
-50, weil 50% der Fläche links von 0 liegt. Das folgt aus der Symmetrie um 0.

Zur Veranschaulichung noch eine Grafik.
Die rechte Grenze der unteren Fläche ist vergleichbar mit U und V. Die linke Grenze ist bei 0.

Parkplätze gibt es unter anderem im Südosten vom Versteck.
Öffentlich anreisen kann man mit dem Bus 239, der zwischen Wien Heiligenstadt (U4) und Maria Gugging fährt.

Lange Hose ist wahrscheinlich sinnvoll.

Additional Hints (Decrypt)

Iba bora tvog rf rvara xyrvara Jrt, iba hagra oenhpug zna rva Ohfpuzrffre.

Decryption Key

A|B|C|D|E|F|G|H|I|J|K|L|M
-------------------------
N|O|P|Q|R|S|T|U|V|W|X|Y|Z

(letter above equals below, and vice versa)