Révisions du bac #5 - mathématiques Mystery Cache

Vous préparez le bac et aimez le géocaching ? Pourquoi ne pas joindre l’utile à l’agréable ?

Cette mystery est cependant ouverte à tout le monde.

Pour la trouver, il suffit de répondre aux questions suivantes.

Chaque hiver, c’est la même chose : il suffit que la météo annonce de la neige pour qu’un air entêtant surgisse du passé et vienne m’obséder…

Etoile des neiges…

Pour les moins jeunes, ces quelques mots évoquent peut-être une célèbre chanson interprétée par Line Renaud, reprise avec succès par Simon et les Modanais dans les années 80. Pour d’autres encore, ils rappellent l’édelweiss, cette jolie fleur des montagnes, à la forme si caractéristique.

Mais c’est tout autrement qu’ils inspirent le mathématicien pour qui l’étoile, fut-elle des neiges, n’est qu’une figure géométrique comme les autres… Enfin presque comme les autres…

Voici quelques exercices qui vous feront regarder les étoiles différemment.

Préambule

Imaginons un triangle équilatéral de côté a, non nul.

Exprimez son périmètre P₀ en fonction de a.

A l’aide du théorème de Pythagore, exprimez la hauteur h en fonction du côté a.

En déduire la surface S₀ du triangle en fonction de a.

Exercice n°1 – le périmètre

Divisons chaque côté du triangle par 3 et formons au milieu un nouveau triangle équilatéral de côté a₁ = a/3, comme indiqué sur la figure suivante.

Exprimez la longueur d’un côté en fonction de a₁. En déduire le périmètre P₁ de cette figure en fonction de P₀.

Divisons encore chacun des côtés de cette figure géométrique par 3 et formons à chaque fois un nouveau triangle équilatéral de côté a₂ = a1/3, comme indiqué sur la figure suivante.

Exprimez le périmètre P₂ de cette nouvelle figure en fonction de a₂. En déduire l’expression de P₂ en fonction de P₁.

Si nous renouvelons le processus n+1 fois, en divisant à chaque fois le côté par 3 et en formant de petits triangles équilatéraux de côté a_n+1=a_n/3. , nous obtenons un joli flocon.

Exprimez le périmètre P_n+1 en fonction de Pn.

De là, déduisez l’expression du périmètre P_n+1 en fonction de P₀.

En déduire la limite P_∞ lorsque n tend vers l’infini.

Calcul :

Au bout de 20 itérations, quel est le rapport entre le périmètre obtenu et le périmètre initial (X = valeur entière de ce rapport)

A partir de quel nombre Y d’itérations, ce rapport est-il supérieur à 1000 ?

Exercice n°2 – la surface

Repartons du triangle initial de côté a et, comme précédemment, ajoutons au milieu de chaque côté un triangle équilatéral de côté a₁ = a/3, comme représenté sur la figure suivante.

La surface S₁ de cette figure est égal à S₀ augmentée de l’aire des trois petits triangles équilatéraux de côté a₁=a/3. Exprimez S₁ en fonction de S₀ et a1.

Comme dans le premier exercice, renouvelons l’opération.

La surface S₂ de cette nouvelle figure est égale à la surface S₁ augmentée de la surface de tous les petits triangles équilatéraux de côté a₂=a₁/3.

Exprimez S2 en fonction de S1 et de a2.

Exprimez la surface S_n+1 en fonction de S_n et de a_n.

En déduire l’expression de S_n+1 en fonction de S₀, la surface du triangle initial.

Quelle est la limite S_∞ de la surface lorsque n tend vers l’infini ?

Calcul :

Quelle surface S₀ doit avoir le triangle initial pour que S_∞ soit égale à 104 ?

Quelle est la longueur de a correspondante ? (valeur entière)

Pour trouver la cache, rendez-vous aux coordonnées initiales (le centre de l’étoile parfaite).

Puis projetez vous de XXX mètres dans la direction YYY degrés, avec

XXX = (X + S₀) – 5*(a + Y)

YYY = (X – S₀) + 2*a

A l’origine la boîte contenait un logbook, un crayon et de nombreuses surprises.