Arithmeticæ localis, to čo má byť? Nemala by tu skôr ležať nejaká keška venovaná Rusovskému kaštieľu, či parku? Alebo posledným súkromným majiteľom kaštieľa Elemérovi a Štefánii Lónyayovcom, ktorí dali vybudovať neďalekú vodnú vežu? Alebo reliktom záhradníctva Stephaneum, ktoré tu Štefánia založila? Alebo neďalekému náučnému tunelu chodníku? Určite by sa hodila a ako vidíte, takéto kešky by sa vo vrstvách geokešingovej miestnej histórie našli. Môžte si zaspomínať pri starých listingoch, možno máte niektoré z nich odlovené. Viac zaujímavých informácií o mieste nájdete aj na Wikipédii.
Ja históriu nehanebne prenechám historickým predchodcom a na toto krásne miesto vás pozývam na odlov kešky venovanej škótskemu matematikovi Johnovi Napierovi (1550 – 1617).
Ako vidíte z letopočtov aj z "fotky", tento týpek žil v časoch, keď ešte názov vašej vednej špecializácie nebol tak špeciálny, že mu rozumeli len ďalší traja ľudia na svete s rovnakou špecializáciou. John Napier bol matematik, fyzik, astronóm, spravoval rozsiahle zdedené pozemky, venoval sa teológii, alchýmii (chémia v pravom slova zmysle vtedy ešte nebola), a nekromancii (rozprával sa s mŕtvymi). Disciplíny som zoradil od najbežnejších po najobskúrnejšie. Aha a ešte som zabudol povedať, že sa občas vydával na výpravy za pokladmi. Fakt, naozaj sa dodnes zachovala aj zmluva, v ktorej si dohaduje treasure hunt s rytierom Sirom Robertom Loganom z Restalrigu. Keby mal Napier GPS, určite by si obľúbil aj Geocaching.
John Napier je známy predovšetkým ako objaviteľ logaritmov. Takisto mu však vďačíme za rozšírenie používania desatinnej čiarky. Skonštruoval tzv. Napierove kosti (alebo kocky, či paličky), ktoré slúžili na urýchlenie a zjednodušenie aritmetických výpočtov. Fantastický vynález.
Arithmeticæ localis
Ako však názov kešky napovedá, reč bude dnes o jednom menej známom Napierovom vynáleze. Arithmeticæ localis (doslova Pozičná aritmetika) je mierne mätúci názov geniálnej binárnej číselnej sústavy a spôsobu počítania s ňou, ktoré Napier vymyslel. Mätúci preto, lebo táto číselná sústava v dnešnom chápaní pojmu nie je pozičná (tak ako desiatková alebo dvojková sústava), ale nepozičná (tak ako rímske čísla).
Ďalšie rozprávanie je z veľkej časti prebraté z Wikipédie. Ak chcete, preštudujte si Pozičnú aritmetiku tam a skočte rovno na časť Ku keške
Najprv číslovky. Napier ako číslovky používal písmená latinskej abecedy. Stupeň mocniny = poradové číslo v abecede. Čiže jednotka bolo a, lebo 20 = 1. Dvojka bolo b = 21 = 2, c = 22 = 4, d = 23 = 8, e = 24 = 16, a tak ďalej.
Ľubovoľné číslo teraz vieme previesť do Napierovej pozičnej aritmetiky tak, že ho jednoducho rozpíšeme na súčet mocnín dvojky a príslušné pozičné číslovky alfabeticky zoradíme. Napríklad číslo 123 = 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = g + f + e + d + b + a = abdfge
Aj opačným smerom je "preklad" celkom jednoduchý. Napríklad číslo abdgkl je súčtom pozičných čísloviek a + b + d + g + k + l = 1 + 2 + 8 + 64 + 1024 + 2048 = 3147
Uvedomme si, že Napierova Pozičná sústava - Arithmeticæ localis v skutočnosti nie je pozičná sústava, teda hodnota číslovky nezávisí od jej polohy v zápise. Číslo abc je teda rovnaké ako cba alebo acb. A podobne ako v iných nepozičných sústavách, zápis čísla nie je jednoznačný, opakovaním čísloviek vieme zapísať čísla rôzne. Napríklad 9 = ad = (1 + 8) = acc = (1 + 4 + 4) = abbc = (1 + 2 + 2 + 4)
Súčet
To umožňuje fantasticky lenivé sčítavanie - pri sčítaní čísel stačí jednoducho napísať všetky číslovky alfabeticky za seba a potom iba číslovky s opakovaniami prepísať na vyššie číslovky (aa = b, bb = c, cc = d, atď.) Aha:
acdeh + bcfgh = acdehbcfgh = abccdefghh = abddefghh = abeefghh = abffghh = abgghh = abhhh = abhi = 1 + 2 + 128 + 256 = 387
Rozdiel
Odčítanie je tiež veľmi priamočiare. Ak sa číslovky menšiteľa nachádzajú v menšenci, jednoducho ich škrtneme a je to:
77 - 5 = acdg - ac = acdg = dg = 8 + 64 = 72.
Ak sa v menšenci nenachádzajú všetky číslovky menšiteľa, tak si ich tam jednoducho "dorobíme" rozpísaním jeho čísloviek, veď už vieme, že b = aa, c = bb, ...
77 - 7 = acdg - abc = abbccg - abc = abbccg = bcg = 2 + 4 + 64 = 70.
Súčin
S násobením je to trochu komplikovanejšie. Ak len násobíme číslo jednociferným činiteľom, stačí číslovky násobeného čísla "posunúť" v abecede dopredu o toľko miest, aký stupeň mocniny dvojky reprezentuje činiteľ. Napríklad 14 krát 32 = bcd * f. Keďže f je 25, treba posunúť číslovky b, c, d o 5 miest dopredu, teda na g,h, i. Preto bcd * f = ghi = 448
Ak násobíme viac-ciferné čísla, postup je ešte trochu komplikovanejší, ale stále celkom prehľadne algoritmický. Najprv jednotlivými číslicami činiteľa vynásobíme všetky číslice násobeného čísla. Všetky výsledky sčítame. To je výsledok násobenia. Hľa, príklad:
238 * 13 = bcdfgh * acd
a * bcdfgh = bcdfgh
c * bcdfgh = defhij
d * bcdfgh = efgijk
bcdfgh + defhij + efgijk = bcddeefffgghhiijjk = bcekl = 2+4+16+1024+2048 = 3094
Nie je to nádhera? OK, možno si poviete, že klasické násobenie pod seba je jednoduchšie. Myslím si však, že je to len tým, že ho dobre ovládate zo ZŠ. Napierov systém je priamočiary, nemusíte ovládať žiadne prechody cez 10 a prenášanie jednotiek a podobne. Navyše k Arithmeticæ localis vymyslel aj dosku - mriežku, na ktorej možno čísla a operácie s nimi reprezentovať pomocou kamienkov. Z aritmetických operácií sa tak stáva pár pravidiel na posúvanie kameňov po doske.
Ku keške
Kešku venovanú Johnovi Napierovi, matematickému výmyselníkovi a hľadačovi pokladov nájdete na súradniciach:
N 48° 3.(acefg + bdeg)' E 17° 9.(gc + g - abbdef)'
Na odlov silne odporúčam vziať rebrík. Tvárte sa buď nenápadne, a ak sa nepodarí nenápadne, tak aspoň milo. Happy caching!