Die Null ist ja das neutrale Element bei der Addition von Zahlen: wenn wir zu einer beliebigen Zahl 0 hinzuaddieren, dann ändert sich nichts. Das ist natürlich auch so, wenn wir das unendlich oft machen. Es gilt also:
0 = 0 + 0 + 0 + ...
Jetzt gilt aber andererseits auch: 0 = 1 - 1
Daher folgt durch Einsetzen:
0 = 0 + 0 + 0 + ... = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ...
Die Klammern können wir bei einer Addition auch weglassen:
0 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
Wir können die Klammern aber auch an anderer Stelle setzen:
0 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
= 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ...
und weil ja aber auch -1 + 1 = 0 ist, folgt daraus:
0 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ...
= 1 + 0 + 0 + 0 + ...
= 1
Also haben wir gefunden, dass 0 = 1 ist!
Nun denn, das sind halt alternative Mathematikfakten ...
Das Problem mir alternativen Fakten ist allerdings, dass man sich leicht in Widersprüche verwickelt. Für diese Widersprüche muss man dann weitere Erklärungen finden. Beispielsweise würde dann ja auch gelten: 1 + 1 = 0 + 0 = 0. Mit anderen Worten 2 = 0. Und so findet man, wenn man denn so weiterrechnet, dass im Grunde alle Zahlen gleich sind. Hat jemals jemand etwas anderes behauptet?
Ok, jetzt weiß ja jedes Kind, dass 1 + 1 nicht gleich 0 ist. Allerdings haben sich die Mathematiker an dieser Stelle etwas ganz besonderes einfallen lassen:
1 + 1 ist tatsächlich 0 wenn wir denn modulo 2 rechnen, wenn wir also das Ergebnis durch 2 teilen und nur den Rest der Division betrachten. Wir müssen dann aber etwas genauer schreiben:
1 + 1 = 0 (mod 2). Das ist dann eine ganz besondere Art der Addition.
Wenn wir rechnen, dann verwenden wir ja üblicherweise die reellen Zahlen. Das sind unendlich viele Zahlen, die von "minus unendlich bis plus unendlich" reichen. Auf diesen Zahlen sind bestimmte Rechenoperationen wie Addition und Multiplikation definiert.
Mit diesen Rechenoperationen soll nun einerseits der Zahlenbereich der reellen Zahlen nicht verlassen werden (die Operation soll ja immer ausführbar sein) und darüber hinaus sollen bestimmte Rechenregeln gelten (u.a. Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und das Distributivgesetz). Was würden diese Rechenoperationen schließlich nutzen, wenn es keine Rechenregeln gäbe? Solch ein Zahlenbereich auf dem Rechenoperationen wie z.B. Addition und Multiplikation definiert sind und bestimmte Rechenregeln gelten, wird in der Mathematik auch "Körper" genannt.
Eine Fragestellung, die sich Mathematiker früher gestellt haben, ist die, ob es denn auch solche Körper gibt auf Zahlenmengen, die nicht unendlich (wie die reellen Zahlen) sind. Und es ist tatsächlich so, dass es solche nichtunendlichen Körper gibt.
Der kleinstmögliche Körper hat dabei gerade zwei Elemente, nämlich - wer hat es geahnt: die Eins und die Null - man benötigt schließlich jeweils ein neutrales Element für die Addition und für die Multiplikation! Wenn wir diese Menge {0, 1} nehmen, dann finden wir schnell, dass folgendes gilt:
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
und: 1 + 1 = 0 (aber das wissen wir ja schon ... alles modulo 2)
Diese besonderen endlichen Körper, von denen hier die Rede ist, werden auch nach einem berühmten Mathematiker benannt.
Frage: wie heißt denn dieser Mathematiker?
A = Wortwert(Nachname des Mathematikers)
In welchem Land lebte dieser Mathematiker?
B = Wortwert(Land)
Dieser geniale Mathematiker starb in recht jungen Jahren infolge eines für ihn tödlichen Ereignisses. Was war das für ein Ereignis?
C = Wortwert(Ereignis)
Am Vorabend dieses tragischen Ereignisses hatte der junge Mathematiker seine mathematsichen Theorien zum Glück in einem Brief an einen Freund festgehalten. An wen war dieser Brief adressiert?
D = Wortwert(Nachname des Adressaten)
Wie schon gesagt: der kleinste endliche Körper hat 2 Elemente. Der nächstgrößere endliche Körper hat 3 Elemente. Dann gibt es endliche Körper mit 4 und 5 Elementen. Interessanterweise gibt es aber keinen endlichen Körper mit 6 Elementen! Ein endlicher Körper mit 7, 8 oder 9 Elementen ist dann wieder möglich. 10 geht wieder nicht.
Frage: welche Eigenschaft muss die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers erfüllen?
Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers ist immer eine ...!
E = Wortwert(Antwort)
Wer an dieser Stelle nicht sofort die Antwort weiß, kann sich ja zur "Anregung" den Film "Cube" aus dem Jahr 1997 ansehen. Aber Vorsicht: nichts für schwache Nerven ...
Wer den Mathehorror nun überstanden hat, kann die Koordinaten des Finals in Ruhe berechnen:
N52 28.(A + B + C + D + E - 45) E013 09.(A + B + D - 1)
Viel Spaß bei der Suche wünscht pit24!