Béconnais est d'abord coureur de cyclisme sur piste professionnel, d'un petit gabarit, en activité dans cette discipline entre 1888 et 1892. Diversement classés entre 1886 et 1894 dans les championnat de France de vitesse et championnat de France de demi-fond de cyclisme sur piste, Henri Béconnais, Fernand Charron, Henri Debray (devenu précocement "Antony" sur les pistes) et Maurice Farman, du fait sans doute de la certitude de la rapidité de leurs réflexes, vont devenir rapidement tous les quatre des pilotes automobiles renommés, déjà habitués à se côtoyer lors de compétitions.
En juin 1899, il accompagne Charles Terront dans son record Paris-Brest-Paris sur motocycle, obtenu par ce dernier en 40 heures et demie entre le 18 et le 19, soit 30 km/h de moyenne sur 1 200 kilomètres3.
En septembre 1899, sur motocycle Perfecta à moteur Soncin, Béconnais bat à Achères le record du kilomètre lancé, parcouru en 48 s 8, puis en mai 1900 il porte le record de vitesse à 91,8 km/h avec ce type de véhicule, durant la Semaine de Nice. Il s'empare aussi durant cette période du record des 100 kilomètres au vélodrome du Parc des Princes, en 1 h 30 min 55 s 4, en atteignant dans l'heure une distance parcourue de pratiquement 70 kilomètres1.
Il meurt alors qu'il s'entraîne en vue de participer à la coupe Gordon Bennett : victime d'une crevaison sur sa Darracq 100HP il percute un arbre. Lucien Bernard son mécanicien embarqué est également tué lors de l'accident près de Labouheyre.