Bei den Header-Koordinaten ist nichts zu finden, sie weisen lediglich auf ein Institut hin, an dem man Fähigkeiten erwerben kann, die zur Lösung dieser Aufgabe beitragen können. / There is nothing to be found at the header coordinates, they simply point to an institute where you can acquire skills that can be helpful in solving this task.
(English version below)
Ich mag gerne Mysteries bei denen die Aufgabenstellung direkt klar ist und die dennoch eine echte Herausforderung bieten. Kombiniert mit meiner schon zu Schulzeiten geweckten Begeisterung für Primzahlen habe ich dieses Rätsel entworfen: Eine eindeutig gestellte mathematische Aufgabe, deren Lösung allerdings nicht trivial ist.
Primzahlen sind bekanntlich alle positiven, ganzzahligen Zahlen größer 1, die nur zwei Teiler besitzen: 1 und sich selbst. Die kleinste Primzahl ist die 2, dann folgen 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 usw. Zwei aufeinanderfolgende Primzahlen nennt man (Primzahl)-Nachbarn, diese haben dabei einen bestimmten Abstand. Zum Beispiel haben die Primzahlnachbarn 23 und 29 einen Abstand von 6.
Es gibt zwar unendlich viele Primzahlen, allerdings treten sie statistisch betrachtet immer seltener auf je größer die Zahlen werden, d.h. es treten auch immer größere Abstände zwischen zwei benachbarten Primzahlen auf. Um diese Abstände soll es hier gehen.
Ein Beispiel zum (noch) besseren Verständnis: Der erste Abstand über 10 tritt zwischen den Primzahl-Nachbarn 113 und 127 auf, mit einem Abstand von 14. Der erste Abstand von genau 10 tritt zwischen den Nachbarn 139 und 149 auf.
Ein bisschen mehr Hintergrundwissen für Interessierte (nicht wichtig für die Lösung der Aufgabe): Nicht nur die Verteilung der Primzahlen, sondern auch die Verteilung der Primzahl-Abstände (engl.: Prime Gaps) wird seit Jahrhunderten intensiv erforscht; Dabei sind immer noch viele Fragen ungeklärt. Eine der berühmtesten, bis heute unbewiesenen Vermutungen ist die Primzahlzwillingsvermutung: Sie besagt, dass unendlich viele Primzahlzwillinge existieren (Primzahl-Nachbarn, deren Abstand genau 2 beträgt, z.B. 5 und 7, 101 und 103 etc.) - eines der ganz großen ungelösten Probleme der Zahlentheorie.
Die Aufgabe:
Finde die beiden niedrigsten benachbarten Primzahlen, die einen Abstand von mindestens 100 aufweisen. Die niedrigere Zahl sei A, die höhere Zahl B. Finde außerdem die beiden niedrigsten benachbarten Primzahlen, die einen Abstand von genau 100 aufweisen. Die niedrigere Zahl sei C, die höhere D.
Die Finalkoordinaten lauten:
N48° [A mod 25].[(D mod 473) + 1] E016° [C mod 27].[A mod 376]
Kontrolle: Die iterierte Quersumme sämtlicher Ziffern der Final-Koordinaten (inklusive 48 und 16) beträgt 6.
Und nun viel Spaß und Erfolg beim Tüfteln!
English version
I like mysteries where the task is clear and yet still offers a challenge. Combined with my enthusiasm for prime numbers, which was sparked when I was at school, I designed this puzzle: a clearly posed mathematical problem, the solution of which, however, is not trivial.
As is well known, prime numbers are all positive, integer numbers greater than 1 that only have two divisors: 1 and themselves. The smallest prime number is 2, followed by 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 etc. Two consecutive prime numbers are called (prime number) neighbors, these have a certain distance. For example, the prime neighbors 23 and 29 are 6 apart.
Although there are an infinite number of prime numbers, from a statistic point of view they appear less and less the larger the numbers become, i.e. the distances between two neighboring prime numbers become increasingly larger. These are the distances we are talking about here.
An example for (even) better understanding: The first distance above 10 occurs between the prime neighbors 113 and 127, with a distance of 14. The first distance of exactly 10 occurs between the neighbors 139 and 149.
A little more background knowledge for those interested (not important for solving the problem): Not only the distribution of prime numbers, but also the distribution of prime gaps have been intensively esearched for centuries; There are still many questions that remain unanswered. One of the most famous, unproven conjectures to this day is the twin prime conjecture: It states that there are an infinite number of twin prime numbers (prime neighbors whose distance is exactly 2, e.g. 5 and 7, 101 and 103 etc.) - one of the great unsolved problems of the Number theory that the best mathematicians are still working on to this day.
The task:
Find the two lowest neighboring prime numbers that are at least 100 apart. Let the lower number be A and the higher number B.
Also find the two lowest neighboring prime numbers that are exactly 100 apart. Let the lower number be C, the higher D.
The final coordinates are:
N48° [A mod 25].[(D mod 473) + 1] E016° [C mod 27].[A mod 376]
Check: The iterated cross sum of all digits of the final coordinates (included 48 and 16) is 6.
And now have fun and success tinkering!