Morda se še iz srednje šole spomnite (ali pa tudi ne) poglavja o odvodih ter o ekstremalnih problemov, ki so z njimi povezani. Ta geocache je namenjen pridobivanju novega (ali pa obnovi starega znanja) iz poglavja matematike, ki se imenuje analiza.
Bistvo ekstremalnih problemov je, da pri dani funkciji poiščemo njene najmanjše (minimum) ali največje (maksimum) vrednosti na določenem intervalu. Prvi korak k temu je, da funkcijo odvajamo ter odvod te funkcije (ki je tudi funkcija- označimo z f'(x)) enačimo z 0. S tem dobimo tako imenovane "stacionarne točke", ki so kandidati za ekstreme funkcij. Da pa ugotovimo, ali se v teh točkah res nahajajo ekstremi naše funkcije, pa odvod še enkrat odvajamo. S tem dobimo drugi odvod originalne funkcije (ki je tudi funkcija). Pri temu nato vstavimo x koordinato od stacionarnih točk ter preverimo, ali je drugi odvod v tej točki večji od 0 (v tej točki je takrat minimum originalne funkcije) ali manjši od 0 (v tej točki je takrat maksimum originalne funkcije). Primer iskanja ekstremov funkcije:
\(f(x)=-4x^4 +2x^2\) /' dano funkcijo odvajamo
\(f'(x)=-16x^3 +4x\) → \(-16x^3+4x=0\)→ X1=0, X2=\( {1 \over 2}\) X3=-\( -{1 \over 2}\)odvod enačimo z 0 (poiščemo vse x, za katere je vrednost odvoda enaka 0)
\(f''(x)=-48x^2 +4\)→\(f''(0)=-48x^2 +4=4 \) (v x=0 je minimum), \(f''({1\over2})=-48({1\over2})^2 +4=-8\) (v x=1/2 je maksimum), \(f''(-{1\over2})=-48(-{1\over2})^2 +4=-8\) (v x=-1/2 je maksimum)
Pravila za odvajanje najdete v naslednji tabeli:
https://www.google.com/search?sca_esv=f27a76d716e86b8b&q=tabela+odvodov+odvodi+pravila&uds=ABqPDvztZD_Nu18FR6tNPw2cK_RRLksnScnmf522RskqjtXc6fXjJKVMHuU7In-ydbKDaqP7eHm5-56Jh4Elbgy0wXj3LosdYWxWQjnlFKZFd7ylRlmZpfIJdY18Qnu27kYx9QfUKkvYNmWPxWH1uPMQ0vb7mVYnHlfRCziTz1ud38BKD3QR4v70bnXXpTW1MV-fdjw4JgMqP00o9_vAskNpDkS4aLW5nWBtuqjUZCErgT7-tlMGluo&udm=2&sa=X&ved=2ahUKEwjKiZuS6JCLAxUVgP0HHexCLgEQxKsJegQICxAB&ictx=0&biw=1422&bih=621&dpr=1.35#vhid=qE7hkjfVxOm74M&vssid=mosaic
Reševanje nalog iz ekstremalnih problemov pa ima v vsakdanjem življenju uporabni pomen-z njimi lahko ugotvljamo, kako lahko pri določenih podatkih dobimo največji (ali najmanjši) možni rezultat. Preden vam pa podam dejansko nalogo, vam bom na primeru razložil, kako se naloge tega tipa rešujejo.
Primer: V krog s polmerom r= 10cm včrtamo trapez, ki ima za eno osnovnico premer kroga in ima največjo ploščino. Koliko meri ploščina tega trapeza?
Premer kroga je 2r= 20cm. Iz tega sledi, da ima trapez daljšo osnovnico, imenovano a, dolgo 20 cm. sedaj zapišimo vse potrebne enačbe- za ploščino trapeza ter si izrazimo višino h s stranico b.
Enačba krožnice: \(x^2+y^2 =r^2 => x^2+y^2 =100 .\) Če rečemo, da je krajša osnovnica dolga b,
potem so krajišča osnovnice simetrično razporejena okoli osi y, kar pomeni, da sta njuni koordinati \(\left( \frac{b}{2}, y \right) in \left( -\frac{b}{2}, y \right)\). Točke ležijo na krožnici, zato velja:
\((\frac{b}{2})^2+h^2=100 => h=\sqrt{100-(\frac{b}{2})^2}\)
Iz tega si izpeljemo funkcijo ploščine trapeza v odvisnosti od b:
\(S(b) = {1\over2}(20+b){ \sqrt{100-{b^2\over 4}}}\)
Funkcijo odvedemo in rešimo S'(b)=0:
\(S'(b) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{100 - \frac{b^2}{4}} + (20 + b) \cdot \frac{-b}{2 \sqrt{100 - \frac{b^2}{4}}} \right)\)
\(\begin{align*} S'(b) &= \frac{1}{2} \left( \sqrt{100 - \frac{b^2}{4}} + \frac{-b(20 + b)}{2 \sqrt{100 - \frac{b^2}{4}}} \right) = 0 \\ 2\sqrt{100 - \frac{b^2}{4}} &= \frac{(20 + b) b}{\sqrt{100 - \frac{b^2}{4}}} \\ 200 - \frac{b^2}{2} &= 20b + b^2 \\ 400 - b^2 &= 40b + 2b^2 \\ 3b^2 + 40b - 400 &= 0 \\ b &= \frac{-40 \pm \sqrt{40^2 - 4(3)(-400)}}{2(3)} \\ b &= \frac{-40 \pm 80}{6} \\ b &= \frac{20}{3} \approx 6.67 \end{align*} \)
Sedaj vstavimo b v funkcijo ploščine: \(S({20\over3}) = {1\over2}(20+{20\over3}){ \sqrt{100-{({20\over3})^2\over 4}}}=125,7cm^2\)
NALOGA:
Odločili smo se ograditi del parcele, kjer bo vrt, zato smo kupili 33,4 m ograje. Ker pa si želimo najbolje izkoristiti prostor, bi radi pravokotno parcelo ogradili tako, da bo njena ploščina največja možna. Kako dolgi morata biti stranici A in B ograjenega pravokotnika, da bo ploščina vrta največja?
KONČNE KOORDINATE:
N 46°33.(A*100)′ E 15°37.((B*100)+18)′