Quellenangaben
In Cambridge hab ich eine schöne Serie von mjouk entdeckt. Diese Serie wurde inspiriert durch Project Euler.
Allgemeine Bemerkungen
Um die Project Euler Rätsel zu lösen, muss man vermutlich ein kleines Computerprogramm schreiben. Ich habe es mit VBA in Excel gemacht.
Nord
Reziproke Zyklen
Ein Stammbruch enthält 1 im Zähler. Die Dezimaldarstellung der Stammbrüche mit Nennern von 2 bis 10 lautet:
| 1/2 | = | 0.5 |
| 1/3 | = | 0.(3) |
| 1/4 | = | 0.25 |
| 1/5 | = | 0.2 |
| 1/6 | = | 0.1(6) |
| 1/7 | = | 0.(142857) |
| 1/8 | = | 0.125 |
| 1/9 | = | 0.(1) |
| 1/10 | = | 0.1 |
0,1(6) bedeutet 0,166666 und hat einen 1-stelligen Wiederholungszyklus. 1/7 hat einen 6-stelligen Wiederholungszyklus und die vierstellige Sequenz, die mit der dritten Ziffer beginnt lautet 2,8,5,7.
Aufgabe
Finde den Wert für d < 10,000 bei dem 1/d den längsten rekursiven Zyklus hat.
An der 1000. Stelle findest du die Sequenz 0,2,4,5. Um Nord zu bekommen suche die 4-stellige Sequenz an der 2494. Stelle.
Ost
Große Fibonaccizahlen
Die Fibonacci-Folge ist wie folgt definiert:
Fn = Fn−1 + Fn−2,
wobei F1 = 1 and F2 = 1.
Somit sind die ersten 12 Zahlen:
| F1 = 1 |
| F2 = 1 |
| F3 = 2 |
| F4 = 3 |
| F5 = 5 |
| F6 = 8 |
| F7 = 13 |
| F8 = 21 |
| F9 = 34 |
| F10 = 55 |
| F11 = 89 |
| F12 = 144 |
Aufgabe
Die 12. Zahl, F12, ist die erste 3-stellige Zahl, and F2390 ist die erste Zahl mit 500 Stellen.
g(n) sei der Index des ersten Terms der n Stellen hat, so daß g(3) = 12 und g(500) = 2390.
Berechne g(6701) um Ost zu bekommen.
Es gilt: N 50° 0x.xxx E 008° xx.xxx.
Acknowledgements
In Cambridge I found a nice series by mjouk. It was inspired by Project Euler.
General notes
To solve Project Euler puzzles, you will probably have to write a computer program.
NORTH
Reciprocal cycles
A unit fraction contains 1 in the numerator. The decimal representation of the unit fractions with denominators 2 to 10 are given:
| 1/2 | = | 0.5 |
| 1/3 | = | 0.(3) |
| 1/4 | = | 0.25 |
| 1/5 | = | 0.2 |
| 1/6 | = | 0.1(6) |
| 1/7 | = | 0.(142857) |
| 1/8 | = | 0.125 |
| 1/9 | = | 0.(1) |
| 1/10 | = | 0.1 |
Where 0.1(6) means 0.166666..., and has a 1-digit recurring cycle. It can be seen that 1/7 has a 6-digit recurring cycle, and the four-digit sequence starting at the third digit is 2,8,5,7.
The Puzzle
Find the value of d < 10,000 for which 1/d contains the longest recurring cycle in its decimal fraction part.
At the 1,000th digit in the decimal fraction you can find the sequence 0,2,4,5. To get north first find the four-digit sequences starting at the 2,494th digit.
EAST
Large Fibonacci numbers
The Fibonacci sequence is defined by the recurrence relation:
Fn = Fn−1 + Fn−2,
where F1 = 1 and F2 = 1.
Hence the first 12 terms will be:
| F1 = 1 |
| F2 = 1 |
| F3 = 2 |
| F4 = 3 |
| F5 = 5 |
| F6 = 8 |
| F7 = 13 |
| F8 = 21 |
| F9 = 34 |
| F10 = 55 |
| F11 = 89 |
| F12 = 144 |
The Puzzle
The 12th term, F12, is the first term to contain three digits, and F2390 the first to contain 500.
Let g(n) be the index of the first term to contain n digits, so that g(3) = 12 and g(500) = 2390.
To get east calculate g(6701)
You can assume that north is N 50° 0x.xxx and east is E 008° xx.xxx.
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