Edit 2022: I have added English text at the bottom that explains STEP BY STEP how you solve this puzzle, with figures and links.
- The original text by almeidara from 2007 is kept as it is, to respect the history of this old cache.
(Background: When I adopted this cache I did not understand how to solve it. At last I discovered a similar cache in America and the owner Mark McArthur kindly helped me understand how it is done. And it is a bit of work. So I decided to make new figures and put the instructions in the text, so that others can do the same thing. Because the point of mysteries is to learn something new.)
O que é um centro? Um triângulo tem um centro?
Inesperadamente, um triangulo não tem um mas inúmeros centros. Centros são pontos especiais que têm certas propriedades de simetria. Para um circulo, claro que o único ponto totalmente simétrico é o seu centro, mas para uma elipse já podemos ter de considerar os seus dois focos como centros.
Num triângulo temos 4 centros clássicos:
![](http://img.geocaching.com/cache/8c856415-fcde-4ebf-bc21-2cbf915a6f7c.jpg)
1) incentro: é o centro da circunferência inscrita no triângulo, portanto daquela em que os lados do triângulo são tangentes.
2) baricentro: é a interseção das três medianas. É o centro de gravidade de um triângulo sólido uniforme, o que significa que se pegarmos por um objecto dessa forma a vertical passará sempre pelo ponto onde pegamos e o baricentro. A mediana divide o lado oposto de um vértice ao meio.
![](http://img.geocaching.com/cache/4fc3a320-c8d7-44ff-a403-a3067398370d.jpg)
![](http://img.geocaching.com/cache/83d917f0-be02-4f37-bcac-b761f3aef639.jpg)
3) circuncentro: ao contrario do incentro, este ponto é o centro da circunferência que inscreve o triângulo. É a interseção das três mediatrizes. Este ponto está portanto a igual distância dos três vertices do triângulo. Definitivamente o mais usado no geocaching
, principalmente porque é o ponto que o GPS acha num triângulo formado pelos satélites na superficie terrestre (embora para ser mais exacto este seja um triângulo esférico). Ver a cache "Na Mouche" (GCMA7E) que faz um excelente uso desta técnica.
4) ortocentro: É a interseção das tês alturas, rectas que ligam um vertice ao lado oposto num ângulo recto.
![](http://img.geocaching.com/cache/39ae3135-3782-420a-9626-65f97ed7cadc.jpg)
Estes eram conhecidos da antiguidade clássica (Gregos). Mais tarde, outros centros foram sendo descobertos (ou inventados, como queiram) como o "centro de nove pontos", "ponto de Lemoine" (ou symmedian point), "ponto de Napolião" ou "ponto de Fermat".
Alguns destes pontos têm propriedades formidáveis. Por exemplo, qualquer que seja o trângulo o ortocentro, o circuncentro, o centróide e o "centro de nove pontos" encontram-se na mesma recta (são colineares)
A internet, essa inesgotável fonte de informação, contém uma enciclopédia com 3248 pontos (@Agosto de 2007) especiais de um triângulo, enumerados desde X(1), X(2) por aí fora. Os primeiros quatro X(n) são os pontos classicos pela ordem descrita a cima. Os primeiros 1200 pontos de Kimberling (criador da enciclopédia):
![](http://img.geocaching.com/cache/1379785a-b475-48ad-a272-5e13714cba01.jpg)
CACHE
Ok, depois disto tudo só não podia deixar de fazer um pequeno puzzle com isto. A cache encontra-se escondida no "centro de nove pontos" do triângulo definido pelos seguntes pontos:
1) N 38° 35.3899 W 009° 11.9197 (coordenadas publicadas)
2) N 38° 35.6719 W 009° 10.5100
3) N 38° 38.3650 W 009° 10.6239
Agora é só investigar um pouco e fazer uns desenhos num mapa. Considerem o triângulo plano! Fiz a construção que permite obter o ponto pretendido de duas formas distintas. O erro que me deu foi entre 0,5 e 7m, complectamente admissível considerando o erro do sistema GPS.
Podes verificar a solução com uma aproximação de 8m no seguinte link Geochecker.com.
EDIT 3.7.2022: Adding english text with links and explanations:
Edit 19.9.2022: Adding drawings of 3 types of triangles.
ENGLISH - STEP BY STEP (easy!)
1. Go to GeocachingToolbox and convert the 3 coordinates from WORLD GEODETIC SYSTEM 1984 (WGS84) to UTM (WGS84) UTM
Link: www.geocachingtoolbox.com/index.php?lang=en&page=coordinateConversion
![](https://img.geocaching.com:443/00f8ace9-69d8-4414-a004-313a8a764c29.jpg)
2. Calculate the CIRCUMCENTER in UTM, but remove the "29S"
(f.ex UTM 29S 482699 4271280 -> X = 482699 Y = 4271280)
Link: scanftree.com/math/calculator/circumcenter-triangle-calculator
![](https://img.geocaching.com:443/61dc517b-1cce-46ad-aa60-18827184be43.jpg)
3. Calculate the ORTHOCENTER in UTM but remove the "29S"
(f.ex UTM 29S 482699 4271280 -> X = 482699 Y = 4271280)
Link: scanftree.com/math/calculator/triangle-orthocenter-calculator
4. Convert the UTM back to WGS84, but add the 29S, and remove all decimals
(f.ex: 48xxxx.06871,42xxxxx.54612 -> 29S 48xxxx 42xxxxx ) NB The "S" in "29S" has to be big/capital letter!
Link: www.geocachingtoolbox.com/index.php?lang=en&page=coordinateConversion
![](https://img.geocaching.com:443/17ab8685-8440-4774-a9ca-56e8ceeffc56.jpg)
5. Go to Geocaching toolbox / midpoint, to calculate nine point center / midpoint between CIRCUMCENTER and ORTHOCENTER.
Link: www.geocachingtoolbox.com/index.php?lang=en&page=distanceBearingMidpoint
6. Check coordinates on Geochecker.com.
- If you struggle, contact me so I can change the text! I want people work to learn, not to give up. ![devil devil](https://cdn.ckeditor.com/4.13.0/full-all/plugins/smiley/images/devil_smile.png)