Metazentrum Mystery Cache

Ein prima Spass für alle Naturwissenschaftler, Rechenfüchse und die, die es noch werden möchten.

Habt ihr euch auch schon manchmal beim Anblick hoch aufragender Kreuzfahrtschiffe gewundert, warum die Dinger nicht einfach bei der ersten Windböhe umkippen?
Hier die grobe Erklärung:
Das Metazentrum eines schwimmenden längsförmigen Körpers (Schiff) entspricht dem Aufhängungspunkt eines vergleichbaren Stabpendels. Während beim Stabpendel der Aufhängunspunkt gleichzeitig auch der Drehpunkt ist, liegt beim schwimmenden Körper die Drehachse immer auf der Flüssigkeitsoberfläche.

Beim schwimmenden Körper wird die Strecke zwischen Metazentrum und Körperschwerpunkt als metazentrische Höhe bezeichnet.
Bei einem homogenen schwimmenden Körper liegt das Metazentrum immer über dem Körperschwerpunkt. Bei Schiffen ist dies nicht von vornherein der Fall. Hier kommt es auf die konstruktive Ausführung oder auf die Beladungssituation an. Es liegt auf der Hand, dass ein Metazentrum beim Schiff unterhalb des Schwerpunktes instabil ist, denn dies entspricht der Situation eines Stabpendels, welches gerade senkrecht über dem Aufhängungspunkt steht.

Die genaue Definition liest sich wie folgt:
Das Metazentrum liegt auf einer Linie, die durch Drehachse und Schwerpunkt geht. Diese wird nachfolgend als Körpervertikale bezeichnet. Diese Linie neigt sich mit, wenn der Körper ausgelenkt wird (das Schiff krängt). In einer ausgelenkten Lage ergibt sich das Metazentrum als Schnittpunkt der Wirklinie der Auftriebskraft mit der Körpervertikalen. Für kleine Winkel bewegt sich das Metazentrum auf einem Kreisbogen um die Drehachse. Der Neigungswinkel heißt im Schiffbau Krängungswinkel.

Um eine klare Aussage hinsichtlich der Instabilität einer Schiffskonstruktion zu erhalten, hat sich die Interpretation der metazentrischen Höhe h_m etabliert. Das folgende Bild veranschaulicht recht schnell die grundsätzlichen Zusammenhänge:

Der entlang der Körpervertikalen gemessene Abstand des Metazentrums vom Gewichtsschwerpunkt heißt metazentrische Höhe h_m (im Bild 2 die Strecke MS). Sie wird positiv gezählt, wenn das Metazentrum bei Gleichgewichtslage oberhalb des Gewichtsschwerpunkts liegt. In diesem Fall ist Stabilität gegeben, denn das durch Neigung hervorgerufene Drehmoment wirkt aufrichtend.
Bild 2 zeigt, wie sich der Angriffspunkt der Auftriebskraft von A nach A' verschiebt. Die Schwimmlage ist also

• stabil, wenn h _m > 0

• indifferent, wenn h _m = 0

• labil, wenn h _m < 0

Für h_mgibt es EU-Richtlinien für einen minimal zulässigen Wert bei Wasserfahrzeugen, dieser Wert sei weiterhin mit h_minbezeichnet und beträgt 150mm.Ferner existiert eine metazentrische Anfangshöhe, die wir h_abezeichnen und die 350mm beträgt. Die Berechnung der metazentrischen Höhe erfolgt bei kleinen Krängungswinkeln näherungsweise mit der Formel

Dabei ist I_y das Flächenträgheitsmoment der Oberfläche (Wasserlinienfläche) des verdrängten Wassers, V_a das Volumen des

verdrängten Wassers und s der Abstand vom Körperschwerpunkt zum Schwerpunkt des verdrängten Wasservolumens (positiv, wenn der Körperschwerpunkt oberhalb des Wasserschwerpunkts liegt).

Lasst uns nun die graue Theorie an einem Buxtehuder Beispiel anwenden:
Der 1897 vom Stapel gelaufene Ewer Margareta verfügt über folgende Geometriedaten (Hambürger Maaß):

• Bodenlänge 53 Fuß

• Bodenbreite 11 ½ Fuß

• Decksbreite 15 Fuß

• Tiefe von Oberkante Boden bis Wasserlinie bei voller Beladung 5 Fuß

Wichtig: Zur Vereinfachung der Kielgeometrie gehen wir von einem Halbkreisbogen aus!
Die Koordinaten der Dose berechnen sich nun wie folgt:

N53°28.(600-(I_y - Bodenlänge in Meter)*(h_min/3 – 50)+107)
E09°42.0((700-2h_a)/(h_m + Decksbreite in Meter)+20)

Und nun viel Spaß beim Rechnen und anschliessendem Dosensuchen! Auf den FTFler wartet eine Displayschutzfolie für ein Garmin 60CSX...