GC59YH1 Magie im 3.Quadrat (Unknown Cache) in Sachsen-Anhalt, Germany created by cookroach

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cookroach: Wie heute auf Wartungstour festgestellt wurde ist das zu suchende Döschen hier nicht mehr vorhanden. So wurde, trotz des schönen Ratsels im Listing entschieden, die Magie im 3.Quadrat ins Archiv zu schicken. Ein Angebot an alle, die bis jetzt schon angefangen hatten zu rätseln und auf dem Weg der Lösung sind - mir die fertigen Final-Koordinaten zu senden und wir finden eine Variante - Danke an alle die sich an meiner Rätselidee versucht haben und dann den Cache besuchten, danke an eure Logeinträge und für eure Favo-Punkte - good bye und winke*winke Quadratmagie - euer cookroach

GC59YH1 ▼

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Hidden : 7/30/2014

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Geocache Description:

Magie im 3.Quadrat

Mit diesem kleinen Rätselcache "Magie im ... " möchte ich den Versuch wagen in die mathematischen Grundlagen von magischen Quadraten einzuführen und ein wenig das sog. Sommerloch überbrücken.

Ich hoffe ihr habt ein wenig Spass beim In- und Outdoor-Teil, die o.g. Listingkoordinaten sind natürlich rein fiktiv, dort braucht ihr also in keinem Fall zu suchen !!!

Folge #1: "Magie im 3.Quadrat": handelt von Magischen Quadraten dritter Ordnung und ihrer Berechnung, nehmt euch ein wenig Zeit und lest den Text, darin verstecken sich die Lösungsansätze für die kleinen Rätsel. Ich möchte nochmal betonen, das dieses Rätsel keinen Anspruch auf wissenschaftl. Vollständigkeit legt und das Thema nur in Ansätzen erfassen kann, wen mehr dazu interessiert, gibt es viele Quellen im Netz, bitte dort weiterlesen. Falls euch Ungenauigkeiten auffallen, die so nicht gewollt scheinen, bitte meldet euch auf meine Mailadresse !

a) Magische Summen:
Die magischen Summen der Quadrate sind die Summen der Zahlen in jeder Spalte, Zeile und der Diagonale, die immer gleich sind. Diese ermitteln sich bei n * n - Quadraten (für n > 2) aus der mittleren Summe eines vorhandenen Zahlenvorrats, vereinfacht dargestellt in der Formel:
magische summen

Für das 3x3-Quadrat (auch Quadrat 3.Ordnung gen.) ergibt sich somit für die Zahlen 1-9 -> S3 = 15, für das 4x4-Quadrat (Zahlen 1-16) -> S4 = 34, für das 5x5-Quadrat (Zahlen 1-25) -> S5 = 65 usw. Für das Ermitteln der Magischen Summe gibt es auch noch andere Wege [z.B. für S3 = (1+2+3+7+8+9)/2 = 15], die hier nicht weiter betrachtet werden sollen.

Zur Aufgabe a:) Bilde aus den in der GC-Nummer des Listings vorhanden Zahlen, rückwärts gelesen eine 3-stellige Zahl = ABC und ermittle nach obiger Formel o.ä. die magische Summe für das Quadrat der ABC.Ordnung -> das 7stellige Ergebnis z hat die Quersumme = Z, diese Ergebnis z als oktale Zahl gelesen und in eine Dezimale gewandelt ergibt eine ebenfalls 7stellige Primzahl y mit der Quersumme = Y. Es ist die abcde.Primzahl mit der Quersumme von abcde = X.
Hilfsmittel wie Goggel, Taschenrechner und Echsel sind natürlich zugelassen, als kleiner Tip die 3 Zahlen X,Y und Z sind 2stellig und beinhalten je eine n des Listingtitels.

b) 3 x 3 - Quadrate:
Beispielgebend für die magischen Quadrate erläutere ich nachfolgend kurz die Schritte zur Lösung und Erstellung eines Solchen. In einem magischen Quadrat (3x3 für n=3 Spalten/Zeilen = 3.Ordnung) werden die Zahlen 1 bis 9 so angeordnet, das sich bei vertikaler, horizontaler und diagonaler Addition die gleiche Summe (S3 siehe Kapitel a) ergibt. Dabei darf jede Zahl nur genau einmal vorkommen (ähnlich Sudoku).
Summe S3

I. Von der "1" oben in der Mitte zur "2" geht es "eins rauf, eins rechts", wenn das Quadrat oben zu Ende geht unten weiter.
II. Zur "3" wieder von der "2" aus "eins rauf, eins rechts", wenn das Quadrat rechts zu Ende geht es links weiter
III. da von der "3" aus "eins rauf, eins rechts" schon besetzt ist, wird die "4" direkt darunter geschrieben.
auf diese Weise füllt sich das Quadrat mit den Schritten IV. bis VIII. nach folgender Formel:

Schritte S3

Es gibt dann demnach 8 unterschiedliche Möglichkeiten ähnlicher Bauart:
8mal3x3

Da die aufgeführten Möglichkeiten nur die horizontal, vertikal und diagonal gespiegelten Varianten sind beschränkt sich die Anzahl der möglichen Lösungen bei einem 3x3-Quadrat tatsächlich nur auf eine Einzige, die auch wie folgt dargestellt werden kann: Links die Variante über vorgegebene Variablen (hier a=5, b=3, c=1) und rechts die Variante für ungerade n, die über die Summen der harmonischer Felder gebildet wird.
Bildung 3x3

Neben Sudoku und Buchstabenquadraten gibt es nun eine zahlreiche Menge von interessanten Anwendungsmöglichkeiten der magischen Quadrate, die berühmtesten von Albrecht Dürer in seinem "Melencolia" und das Hexeneinmaleins in Goethes "Faust" u.v.a.m.

Zur Aufgabe b:)
b1) Löse das nachfolgend abgebildete magische Quadrat und ermittle W und V !

b2) Vervollständige das magische Quadrat zu nachfolgender Vorgabe mit der oben gezeigten Variablen-Variante und ermittle a+b+c = D:

c) Ausblick für n x n - Quadrate und Varianten:
Für weitere n * n - Quadrate, z.B. 4x4-Quadrate und 5x5-Quadrate und deren Berechnung bzw. Lösung würde hier der Platz nicht reichen, nur soviel sei gesagt, je höher die Ordnung der Quadrate um so variantenreicher und vielschichtiger wird ihre Betrachtung. Bei Gefallen des Rätsels gibt es vielleicht eine Fortsetzung, die im 4x4-Quadrat ungefähr so aussieht:
Bildung 4x4

(A=11, B=7, C=6, D=10, a=7, b=9, c=1, d=8)
Hier sollen lediglich noch kurz ein paar interessante Varianten der 3x3-Quadrate gezeigt werden:
- lateinische Quadrate:
Werden aus 3 aufeinander folgenden Zahlen oder deren Kombinationen gebildet:
lateinmuster

>
Sie sind eigentlich die Vorform der magischen Quadrate und werden heutzutage z.B. zum Generieren von Farbmustern, Prüfsummen und Computercodes verwendet.

- addierte Quadrate:
  Werden aus dem Grundquadrat gebildet, der mit einem Offset-Wert addiert ist:
  (Diese kann man gut für höhergeordnete magische Quadrat z.B. der 6.Ordnung verwenden.)
- Prime-Quadrate:
  Magische Quadrate aus Primzahlen bestehen in ihren Elementen nur aus Primzahlen z.B.:
  (Sie werden gern für die Darstellung von Beziehungen der Faktoren und
  zur Matrixen-Generierung verwendet.)
- Quadrat-Quadrate:
  Eine sehr interessante Variante sind magische Quadrate, die nur aus Quadratzahlen bestehen
- Produkt-Quadrate:
  Eine noch schönere Variante der magischen Quadrate sind Produkt-Quadrate aus Zahlen
  oder deren Potenzen.

usw. usf. Beispiele und Bilder dazu findet ihr genügend im Netz, viel Spaß bei der Entdeckungstour !

Wie ihr seht, ist schon die Varianten-Vielfalt der 3x3-Quadrate recht reichhaltig und ein weites Feld um sich unendlich viele tolle Mysteries auszudenken, ich hoffe, ich konnte euch einen kleinen Einblick geben.

Zur Aufgabe c:)
Mir persönlich gefallen immer wieder die Kombinationen der verschiedenen Varianten, wie z.B. in einem magischen Würfel. Wem es also bis jetzt zu einfach war, der kann sich an nachfolgenden Würfel austoben und hier E, F, G und H ermitteln. Zum besseren Verständnis habe ich euch mal ein Beispiel eines magischen Würfels mit den Zahlen 1-27 (linkes Bild) vorgegeben, dabei bilden die 3 untereinander liegenden Quadrate, die jeweiligen Ebenen des Würfels. Die magische Summe von 42 beim Beispiel wird hier zwar nicht in allen Diagonalen erreicht, somit gilt der Würfel nur als semi-magisch. Eure Aufgabe ist es nun, den magischen Würfel im rechten Bild so aufzulösen, das sich dabei die gleiche magischen Summe = I in horizontaler und vertikaler Richtung in allen Ebenen ergibt, in der mittleren stimmen auch die Diagonalen.
Beispielwuerfel

Das Finale:
findet ihr in entsprechender Höhe über die nachfolgende Formel (QS=Quersumme), ihr braucht dazu die Variablen X, Y (aus a), V und W (aus b) und E,F,G, H und I (aus c). Ich bitte darum es genau an diesen Platz wieder so zu positionieren. Das Döschen beinhaltet einen Stift, aber kaum Platz für Coins oder TB`s und bitte auch wenn es manchmal schwer fällt nicht spoilern.
N 51° 0W.(QSE) (QSX) (QSY)
E 012° 0(QSH-QSG).(F-V) [(D/W) - (H-I/3)] (QSG/QSF)

Nun habt viel Spaß bei diesem Sommerloch-Rästel und bitte schreib mir auch wie es euch gefallen hat und/oder welche Anregungen ihr für eine evtl. Fortsetzung habt.

Additional Hints (Decrypt)

G haq Q Jreghat ornpugra

Decryption Key

A|B|C|D|E|F|G|H|I|J|K|L|M
-------------------------
N|O|P|Q|R|S|T|U|V|W|X|Y|Z

(letter above equals below, and vice versa)

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