Attenzione, il cache non si trova alle coordinate del listing, per trovare le coordinate finali devi fare un po' di calcoli.
Parcheggia al parcheggio indicato e comincia dal primo cache. Dopo aver trovato l'ottavo cache potrai trovare le coordinate del bonus che si trova vicino la strada di ritorno al parcheggio. Tutti cache tranne il bonus sono posizionati poche decine di metri dal sentiero. La serie è composta da 8 cache più il bonus. Sul logbook trovi le cifre importanti per poter trovare il bonus. Non dimenticare di segnarle.
Il numero 7 è il numero fortunato. Ti sei mai chiesto perché? Probabilmente è per il fatto che lanciando 2 dadi, la somma dei numeri usciti sarà spesso 7. Il 7 appare più spesso di qualsiasi altro numero per il fatto che c'è solo 1 combinazione dei dadi per avere la somma 2, una sola per avere 12, ma ben 6 combinazioni diverse per avere la somma 7. Sono 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 e 6+1. Da questo è chiaro che il numero 7 appare 6 volte più frequentemente del numero 2. Per essere preciso, ci sono 36 combinazioni diverse, quindi la probabilità che cade il 2 è 1/36, invece la probabilità che esce il 7 è 6/36=1/6. Invece lanciando un dado solo, la probabilità è sempre 1/6.
Un'altro fatto interessante di probabilità dei lanci del dado (moneta, roulette ecc.) e' che il lancio successivo non dipende assolutamente dai lanci precedenti. Uno potrebbe pensare, vedendo che e' uscito il pari 10 volte una dopo l'altra, che ora deve per forza uscire il numero dispari. Comunque si sbaglia. E' vero che la probabilità che esce 11 volte il pari e' 1/2048, ma dopo che e' uscito pari per la decima volta (che aveva la probabilità 1/1024), l'altro pari avrà la probabilità 1/2048 diviso per 1/1024, quindi 1/2, come se prima non fosse successo niente.
La probabilità di un evento si calcola contando i casi favorevoli dividendoli per numero di tutti casi possibili. Quindi la probabilità che sul dado cade un numero pari e' 3, ovvero il numero di tutti numeri pari possibili (2,4,6) diviso 6, ovvero il numero di tutti casi possibili (1,2,3,4,5,6). Quindi e' 1/2. Nel caso di un dado solo e' triviale.
Vediamo pero' un lancio di 6 dadi e vogliamo sapere quale e' la probabilità che esce una scala da 1 a 6. Tutti casi possibili sono 6x6x6x6x6x6, quindi 6^6=46'656. Il caso favorevole e' uno solo (1,2,3,4,5,6). Pero' attenzione che la scala può uscire in un ordine qualsiasi e sarà sempre una scala. Quindi può uscire per esempio (2,1,3,4,5,6) oppure (6,5,4,3,2,1) quindi effettivamente il caso favorevole non sarà solo uno, ma sarà il numero delle permutazioni del 6 che è 6x5x4x3x2x1, quindi 6!. Allora la probabilità della scala sui 6 dadi è 6!/6^6 = 720/46656 = 5/324 = circa 1/65.
Il caso dei dadi era però un po' particolare in quanto su 6 dadi possono uscire 6 numeri uguali. Quando dobbiamo calcolare per esempio la probabilità di vincita del Lotto, dove un numero non può uscire due volte, dobbiamo calcolarlo nel modo diverso. Quindi avendo 6 numeri da estrarre, il primo lo possiamo scegliere tra 6. Il secondo solo tra 5 rimasti, terzo scegliamo tra 4 e così via finché nel sacco non rimane solo una pallina, quindi "scegliamo" una su uno. Il numero totale di casi è quindi 6x5x4x3x2x1, quindi 6! - il fattoriale di 6.
Estraendo per esempio 4 numeri da 6, il numero di casi sarebbe 6x5x4x3. Purtroppo non abbiamo un operatore matematico per poter calcolare una sequenza del genere, ma possiamo modificare la equazione moltiplicandola con il fattoriale del 2 e successivamente dividendola con lo stesso fattoriale. Quindi diventa 6x5x4x3 x 2x1 / (2x1). Così la sequenza impossibile si è trasformata nel semplice fattoriale di 6 diviso con fattoriale di 2. Ma non abbiamo ancora finito - effettivamente abbiamo calcolato il numero delle disposizioni di tre numeri estratti dal insieme di 6 numeri. Nel caso di Lotto non importa l'ordine dei numeri estratti, quindi dobbiamo ancora dividere (come nel caso dei dadi) il numero delle disposizioni con il numero delle permutazioni di questi 4 numeri estratti, quindi con il fattoriale di 4. Così otteniamo il numero delle combinazioni.
Quindi abbiamo imparato che il numero di disposizioni di k numeri su n è
P(n,k) = n!/(n-k)!
e il numero di combinazioni di k numeri su n è
C(n,k) = n!/((n-k)! k!)
Come vediamo, la funzione comune a tutti questi calcoli è il fattoriale. E' la funzione più complessa che si trova sulle calcolatrici semplici. Le calcolatrici di una volta la calcolavano proprio moltiplicando i numeri da 1 fino al numero del fattoriale. Era una operazione che durava anche più di un secondo. Una calcolatrice comune arrivava fino al 69! in quanto questo è l'ultimo fattoriale che è minore di 1e100. Alcune calcolatrici ed i fogli di calcolo di oggi di solito arrivano fino a circa 170!. La calcolatrice wp34s nella modalità di doppia precisione arriva poco oltre il 2100! che è circa 5x10^6066.
Ma come si può calcolare per esempio il fattoriale di un milione? Prima di rispondere a questa domanda, vediamo come la calcolatrice calcola il fattoriale. Come abbiamo visto, è la moltiplicazione di n x (n-1) x (n-2) .... x 2 x 1. E' però definito solo per i numeri naturali. Qualcuno ha pensato di estendere questa funzione anche ai numeri reali. Questa funzione si chiama gamma e per i numeri naturali ha valore Γ(n)=(n-1)!. Ovviamente, come il fattoriale, anche questa funzione sale troppo in fretta oltre i limiti gestibili dalla calcolatrice o foglio del calcolo. Quindi c'è anche la funzione LnGamma (oppure qualche volta chiamata gammaln) che calcola logaritmo naturale della funzione gamma. Tanto, nelle formule per le combinazioni si usano le divisioni, quindi con LnGamma dobbiamo sottrarre invece di dividere e alla fine dobbiamo solo fare e^x.
Quindi per calcolare le combinazioni con i numeri grandi possiamo usare queste equazioni.
P(n,k)=elnΓ(n+1)-lnΓ(n-k+1)
C(n,k)=elnΓ(n+1)-lnΓ(n-k+1)-lnΓ(k+1)
Mi sono sempre chiesto come si potrebbe calcolare il fattoriale senza dover moltiplicare decine o centinaia di numeri. Ora so, che si può sfruttare la funzione gamma, però come fa la calcolatrice a calcolarla? Per scoprirlo mi sono addirittura messo a studiare il codice sorgente della calcolatrice wp34s. Mi sono stupito di quanto è semplice. Si fa la somma di 20 coefficienti sempre più piccoli divisi con (n+i+2) e dopo l'ultima iterazione si fanno due logaritmi, qualche moltiplicazione e addizione. L'algoritmo è piuttosto semplice, i coefficienti utilizzati in questo calcolo sono invece impressionanti. Sono stati calcolati a 50 cifre decimali per garantire la precisione desiderata. Per provare quanto è preciso ho provato di calcolare 1000000!/999999! usando la funzione lnGamma su wp34s in doppia precisione. Il risultato era 1000000.000000000000000000001893815. Semplicemente incredibile.
Ora però vediamo dov'è il cache. Il cache si trova sulle coordinate
N 45° 03.ABC E 007°27.DEF
dove ABC è il numero delle combinazioni dei 5 numeri del Lotto (estratti da 90 numeri possibili) diviso con 66792
e DEF è numero di cifre del 203!
Nota: I numeri estratti da Lotto non vengono reimmessi nell'urna, quindi non può uscire 2 volte lo stesso numero
Per calcolare ABC non ti basta una calcolatrice normale, quella arriva solo fino al 69!, noi abbiamo bisogno del 90!. Quindi o ti metti a moltiplicare manualmente i numeri oppure puoi usare uno spreadsheet, per esempio OpenOffice Calc, quello riesce fare un fattoriale così. Oppure usa la wp34s o il suo emulatore scaricabile gratis dal sourceforge. Qui trovi addirittura direttamente la funzione per calcolare la combinazione, quindi il calcolo sarebbe questo:
[9] [0] [enter] [5] [f] [C y,x] [6] [6] [7] [9] [2] [÷]
Quanto riguarda il DEF, hai due possibilità. Fare direttamente il fattoriale e guardare l'esponente del risultato (non dimenticare di aggiungere 1) oppure fare lnΓ 204 / ln 10. La parte intera di questo risultato è l'esponente decimale del fattoriale 203, la parte decimale è il logaritmo decimale della mantissa del fattoriale. Anche qui non dimenticare di aggiungere 1 al esponente. In questo modo puoi calcolare anche 1000000!, è circa 8.26x10^5'565'708
sul wp34s:
[203] [g] [!]
oppure:
[204] [h] [X.FCN] LNΓ [1] [0] [g] [LN] [÷] [1] [+] [f] [IP]
Puoi ovviamente usare anche un spreadsheet, attenzione che lì la funzione lnΓ si chiama di solito GAMMALN.
Attention, the cache is not placed at the coordinates of listing. You must calculate the final coordinates. Leave the car at the parking place, see the waypoint and begin with the first cache of the series. After you have found the last cache you can found the bonus cache located near the path for the parking. There are 8 caches plus bonus. Note the code on logbook that you need for search the bonus. All caches expect the bonus are placed few meters from the path,
to be translated...
simply:
the final coordinates are:
N 45° 03.ABC E 007°27.DEF
where ABC = C(90,5) / 66792
and DEF is the number of digits of 203! (note that number of digits is the exponent plus 1)
C(90,2) is number of combination of 5 numbers taken from pool of 90 numbers
C(n,k)=n!/((n-k)! k!)
Arrivando dal #6 prendi il sentiero che ti riporta sulla cresta. Non prendere la strada.
