Update 18.04.2017: Hinweise in Form von nicht maßstabsgetreuen Skizzen als grobe Anhaltspunkte
Schon vor meiner Zeit als Cacher wanderte ich gerne durch die Wälder und Wiesen dieser Welt und deshalb widme ich auch diesem Hobby einen Cache. Wer mich allerdings von meinen anderen Caches kennt, weiß, dass bei mir bloßes Laufen selten zur Dose führt. :)
Schon in meinem Cache "Reihenberechnungen" (GC6ZZJ8) konntet ihr meine Affinität zur Mathematik erkennen. Und da ich zu Schulzeiten und auch heute noch das Teilgebiet Analysis am schönsten finde, habe ich dieses in den heutigen Cache mit eingebaut.
Neulich war ich unterwegs, um mal wieder ohne GPS und Suchen nach Caches die Natur zu bewandern. Zufällig entdeckte ich dabei etwas, das natürlich sofort mein Interesse weckte: einen mathematischen Lehrwanderweg. Neugierig las ich auf der Informationstafel am Anfang des Weges, dass es auf diesem mehrere Kilometer langen Weg fünf Stationen gibt, an denen es etwas zu berechnen gibt. Und so machte ich mich auf den Weg und erreichte bald die erste Station, welche aus einer Metallskulptur auf einem Steinsockel bestand. Auf dem Schild davor las ich:
Diese Skulptur wurde freundlicherweise von der nahegelegenen Berufsschule für Gießereimechanik gestiftet. Sie ist zur vertikalen Achse rotationssymmetrisch, einen Meter hoch und läuft oben spitz zu. Außerdem beträgt unten, wo die Skulptur senkrecht auf den Sockel trifft, der Skulpturdurchmesser 50 cm. An der breitesten Stelle beträgt dieser 62,5 cm. Des Weiteren sehen Sie von Spitze bis Sockel eine geradlinig nach unten verlaufende rote Linie auf die Skulptur gemalt, die die Form einer gekippten ganzrationalen Funktion dritten Grades hat. Berechnen Sie das Volumen dieser Skulptur.
Ich setzte mich also auf die Bank daneben, packte Stift und Papier aus meinem Rucksack und rechnete. Schließlich bekam ich das Volumen v Liter (gerundet auf eine Nachkommastelle genau) heraus. Eine Auflösung stand zwar nirgends, aber meine Zahl kam zumindest ungefähr hin.
Ich zog also weiter und kam dabei an drei weiteren Stationen vorbei, die ich natürlich auch anging. Die letzte Station bestand aus einem schönen, kleinen See und auf dem Schild davor stand:
Dies ist wegen seiner Apfelform der sogenannte Apple-Lake. Darum ist ein gleichförmiger Wanderpfad angelegt, der als Linie interpretiert bei geeigneter Einführung eines Koordinatensystems durch die parametrisierte Kurve [ 0 , 2π ] → ℝ², t ↦ ( cos(t)(a-b*cos(t)) , sin(t)(a-b*cos(t)) ) dargestellt werden kann. Um a und b zu bestimmen, muss man wissen, dass der Pfad unter anderem die x-Achse bei 25 und die y-Achse bei 125 schneidet. Wie lang ist er?
Da diese Berechnung von Hand sehr schwierig ist, gibt es folgenden Tipp:
0∫2π√ 1-(40/41)cos(t) dt ≈ 5,7297
Ich ließ mich ächzend auf die Bank neben dem Schild nieder. Dies war nun wirklich eine harte Nuss, aber ich gab nicht auf und nach einiger Rechnerei war auch diese geknackt: Ich bekam w Meter (gerundet auf eine Nachkommastelle genau) heraus.
Erschöpft, aber glücklich, dass ich mich noch an die nötigen Techniken erinnern konnte, trat ich dann den Heimweg an, denn es war schon spät.
Nun ist es an euch, wie ich die Zahlen v und w aus meinem Wanderbericht zu bestimmen. An den angegebenen Koordinaten ist natürlich wieder nichts versteckt. Die Dose findet ihr bei folgenden Koordinaten:
N 48° 56.(100(v-205)-13) E 009° 07.(40(w-900)-8)
Die Schwierigkeit ist durchaus gerechtfertigt. Man sollte sich mit Integralen auskennen und wissen, was eine parametrisierte Kurve ist. Bitte keine Brute-Force-Angriffe auf den armen, geplagten Geochecker unten, es gibt zu viele Möglichkeiten; dafür wartet dort auf euch der leider nicht anerkannte Titel des Diplom-Matherätselknackers und wichtige Informationen zum Final.
