Liczby naturalne
Czym są liczby naturalne? Matematycy oznaczają je symbolem ℕ, choć najprościej zapisać je po prostu tak: 1, 2, 3, 4 i tak dalej… Wszyscy rozumiemy je intuicyjnie i uczymy się ich własności od wczesnego dzieciństwa. Co to za własności? Liczby możemy do siebie dodawać, możemy je przez siebie mnożyć, a te dwa działania spełniają mnóstwo ładnych, intuicyjnych właściwości, do opisywania których matematycy używają takich słów jak grupa, pierścień, przemienność czy rozdzielność.
Systemy liczbowe
Zazwyczaj myśląc o liczbach naturalnych, wyobrażamy je sobie jako ciągi cyfr. Często niektóre z tych ciągów uważamy za bardziej znaczące od innych: dziesiątą rocznicę ślubu większość z nas będzie obchodzić o wiele bardziej hucznie, niż jedenastą, choć to jedenaście jest liczbą pierwszą, w wielu miejscach w matematyce bardziej istotną, niż złożona liczba 10, będąca iloczynem liczb 2 i 5. To dlatego, że do zapisu liczb używamy na co dzień systemu dziesiątkowego - mamy dziesięć różnych cyfr i każdą liczbę naturalną reprezentujemy jako sumę kolejnych potęg podstawy naszego systemu - liczby 10, pomnożonych przez odpowiednie cyfry. Na przykład 561 = 5 • 102 + 6 • 101 + 1 • 100 = 5 • 100 + 6 • 10 + 1 • 1.
Oczywiście system dziesiątkowy nie jest jedynym, którego możemy używać. W informatyce i świecie komputerów bardzo przydatne są system binarny (o podstawie 2) oraz system szesnastkowy (o podstawie 16). W wielu innych językach i kulturach świata możemy znaleźć ślady innych systemów - na przykład dwunastkowy w wielu kulturach afrykańskich czy dwudziestkowy w języku baskijskim. Matematycy badają nawet właściwości bardziej skomplikowanych systemów liczbowych, których podstawy mogą być liczbami ujemnymi (np. tak zwany system negabinarny o podstawie -2) lub które w ogóle nie mają jednej podstawy, a liczby przedstawiane są jako na przykład silnie kolejnych liczb naturalnych pomnożonych przez odpowiednie cyfry (w systemie silniowym).
O liczbach naturalnych mógłbym pisać jeszcze długo i pewnie nigdy nie skończyłyby mi się tematy. Mam nadzieję, że ciekawskich mój opis zaprowadzi w wiele zakamarków internetu dotyczących teorii liczb - części matematyki zajmującej się właśnie badaniem liczb naturalnych. Kto wie, może ktoś z was dowiedzie nawet jednego ze słynnych otwartych problemów tej dziedziny: hipotezy Collatza albo hipotezy ABC. Dajcie znać!
A no tak, byłbym zapomniał. Współrzędne! Są ukryte w poniższej liczbie naturalnej:
102282408139113480716938514077
Natural numbers
What are natural numbers? Mathematicians denote it with the symbol ℕ although they can be referred to in a simpler way: 1, 2, 3, 4, etc… We all have an intuitive understanding of what they are and learn their properties from early childhood. What are these properties? We can add and multiply natural numbers together and these two operations have many basic intuitive features. When describing these features, mathematicians use words like group, ring, commutativity and associativity.
Number systems
When we think of natural numbers, we usually imagine them as strings of digits. Often times some of these strings are more meaningful to us than others: you will probably throw a much larger party for your tenth wedding anniversary than the eleventh, even though eleven is a prime number, in many ways much more important for mathematicians than ten, which is a product of two and five. This is because to represent numbers we use the decimal system - we have ten different digits and every natural number is represented as a sum of subsequent powers of the base of the system - the number 10 - multiplied by appropriate digits. For example 561 = 5 • 102 + 6 • 101 + 1 • 100 = 5 • 100 + 6 • 10 + 1 • 1.
The decimal system is not the only one we can use. In computer science, two very popular systems are the binary system (base 2) and the hexadecimal system (base 16). In many other languages and cultures we can find traces of other systems - for example the base 12 system in many African cultures or the base 20 system in Basque language. Mathematicians study the properties of even more complicated number systems and allow their bases to be negative numbers (eg the so called negabinary system with base -2) or ones which do not have one base at all but express natural numbers as, for example, sums of subsequent factorials of natural numbers multiplied by appropriate digits.
I could go on for hours and hours about natural numbers as I find this stuff do fascinating. I hope to have directed at least some of you to wikipedia pages about some interesting number theory subjects - perhaps some of you will even be inspired to solve some of the field's open problems like the Collatz conjecture or the abc conjecture.
Oh right, I would have forgotten about the coordinates. Here they are, hidden, of course, in a natural number:
102282408139113480716938514077