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Hidden : 4/20/2018

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Geocache Description:

`WIF - Wissenschaft Ist Fantastisch`

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Hochtrabender Titel, oder? 😁

Zur Klarstellung: Ich bin kein Wissenschaftler.
Ich bin kein Professor, kein Doktor und vor Allem kein Genie.

Aber ich interessiere mich für unterschiedliche Bereiche der Wissenschaft und beschäftige mich damit.
Weil die Welt, und sei es jetzt die reale Welt, oder die Gedankenwelt der Leute, die tatsächlich Wissenschaftler, Professoren, Doktoren und Genies sind, voller unglaublicher Dinge und Überlegungen steckt die auch mich als Laien faszinieren und staunen lassen.

Mit diesen Caches will ich versuchen meine Faszination für einige dieser Themen mit euch zu teilen und euch anzuregen die Welt wieder ein bisschen mehr mit den Augen eines unwissenden Kindes zu sehen, das nicht versteht wie alles um es herum zusammenhängt und funktioniert.
Ausserdem ist für die Meisten von uns der Versuch diese Dinge, wenn auch nur im Ansatz, zu begreifen, bestimmt auch gutes Training für die alte Denknudel.
Und das kann nie schaden. 😊

Also noch einmal im Klartext: Ich erhebe mit diesen Caches / Rätseln / Erklärungen keinen Anspruch auf Korrektheit, Vollständigkeit oder Sinnhaftigkeit. (auch wenn ich mir soweit möglich Mühe gebe diesen zu erfüllen)
Nicht dass mir dann von den tatsächlichen Spezialisten unter Euch Klagen kommen. 😉

Na dann los.
Ab in die obskure Welt der Wissenschaft.

Was ist die größte Zahl die ihr euch vorstellen könnt?
Oder besser gefragt, was ist die größte Zahl über die ihr je nachgedacht habt?
Eine Million (10^6)?
Eine Milliarde (10^9)?
Das sollte uns Allen ja noch ein Begriff sein. (Obwohl der Unterschied zwischen "ein Begriff sein" und "Vorstellen können" ein großer ist)
Ein Googol vielleicht (10^100)?
Oder ein Googolplex (10^(10^100))?
Dann wirds aber schon eng.

Aber diese Zahlen, selbst wenn man sie miteinander multipliziert, kommen nicht mal in die Nähe des Ungetüms um das es hier geht.
Nämlich:

Grahams Zahl

Was ist so besonders an Grahams Zahl und wofür wurde sie verwendet?

Dieses Kapitel kann von ganz lese- und denkfaulen Cacherkollegen auch übersprungen werden, auch wenn ich mich freuen würde wenn ihr euch durchkämpft. 😋

Grahams Zahl war für eine lange Zeit die größte konstruktiv verwendete Zahl.
Der "Finder" dieser Zahl, Ronald Graham, berechnete sie als eine obere Grenze für ein Problem an dem er arbeitete.
Ich werde versuchen das Problem so einfach es mir möglich ist zu beschreiben:

Wir alle wissen wie ein Quadrat aussieht:

Quadrat

Ein Quadrat hat 2 Dimensionen: Länge und Breite. Es hat 4 Ecken (hier in grün) und wenn man jede Ecke mit jeder Anderen verbindet, ergeben sich 6 Linien (hier in rot und blau; ihr seht gleich warum).

Auch einen Würfel hat jeder von uns schon einmal gesehen.
Geht man auf die gleiche Weise vor wie beim Quadrat (Einfärben der Ecken in Grün und der Linien in Rot oder Blau) und zählt sie dann, kommt man auf 8 Ecken und 28 Linien.
Ihr könnt das Teil gerne selbst Zeichnen und nachzählen. 😉
Ein Würfel existiert in 3 Dimensionen: Länge, Breite und Höhe.

Soweit zu den Grundlagen.
Ich hoffe das ist noch verständlich, sonst könnt ihr jetzt aufhören zu lesen.

Was hat das nun alles mit Grahams Problem zu tun?
Stark vereinfacht ging es Graham darum, alle Linien von Würfeln in verschiedenen Dimensionen (ein Quadrat ist ja quasi ein 2-dimensionaler Würfel) so in rot und blau einzufärben, dass 2 bestimmte Konstellationen nicht vorkommen.
Und zwar die Konstellationen in der alle 6 Linien eines wie oben beschriebenen Quadrats die gleiche Farbe haben (rot oder blau).

DIESE 2 dürfen nicht vorkommen:
Quadrat-Einfarbig

Fangen wir wieder bei 2 Dimensionen an.
Als Beispiel in 2 Dimensionen nehmen wir wieder das erste "Quadratbild " her.
Hier ist es kein Problem alle Linien des Quadrats (= 2-dimensionalen Würfels) so einzufärben, dass kein komplett rotes oder komplett blaues Quadrat entsteht.
Ein Beispiel wäre so wie es im Bild eingezeichnet wurde.
Soweit so Easy-Peasy.

Bei 3 Dimensionen (einem gängigen Würfel), ist es schon etwas schwieriger, aber immer noch mit Leichtigkeit schaffbar.
Anders als beim Quadrat, dessen Linien nur eine Möglichkeit bieten um es zu versaubeuteln (indem man alle Linien mit der gleichen Farbe einfärbt), gibt es bei einem 3-dimensionalen Würfel gleich 6 Möglichkeiten, da es in dem Gewirr von Linien nun 6 2-dimensionale Quadrate (mit einem X drin) aus Linien gibt, die man nicht in der gleichen Farbe einfärben darf - nämlich die 6 Seiten des Würfels.
Auf jeder Seite befindet sich ein 2-Dimensionales Quadrat aus Linien, die nicht die gleiche Farbe haben dürfen.

Also, fassen wir zusammen:
- 2 Dimensionen (Quadrat): Es ist möglich alle Linien so einzufärben, dass kein gleichfarbiges 2-dimensionales Quadrat entsteht
- 3 Dimensionen (Würfel): Es ist möglich alle Linien so einzufärben, dass kein gleichfarbiges 2-dimensionales Quadrat entsteht

Und jetzt? 🤔

Ihr habt es euch vermutlich schon gedacht - jetzt kommt der 4-dimensionale Würfel, oder auch Tesserakt genannt.

Denkt mal drüber nach.
Tuts schon weh im Kopf? 🤕

Aber keine Angst, weiter gehe ich im Moment auch nicht.
Nur soviel zum Tesserakt:
Es ist möglich alle Linien des Tesserakts so einzufärben, dass kein gleichfarbiges 2-dimensionales Quadrat entsteht.

Die Frage die sich Ron Graham nun (indirekt) stellte war:
In wie vielen Dimensionen muss ein Würfel existieren, damit es beim Einfärben all seiner Linien mit 2 Farben NICHT vermieden werden kann, dass ein gleichfarbiges, 2-dimensionales Quadrat (mit X drin) entsteht? Oder ist das vielleicht sogar IMMER vermeidbar, egal wie viele Dimensionen der Würfel hat?

Komische Frage, ich weiß. Fragt mich nicht warum genau Ron das wissen wollte, aber für ihn war das wohl wichtig. 😁
Deswegen hat er sie sich beantwortet.
Und seine Antwort war: Grahams Zahl.

Aufgemerkt: Es ist nicht so, dass ein Würfel mindestens "Grahams Zahl" Dimensionen haben MUSS, damit beim Einfärben zwangsweise ein gleichfarbiges Quadrat darin entsteht.
Seit 2008 besteht die Vermutung, dass das bereits bei einem 13-dimensionalen Würfel unvermeidbar ist, egal wie man die Linien des Würfels einfärbt.
Aber unser Ronnie hat damals in den 70ern mathematisch BEWIESEN, dass es bei einem Würfel mit "Grahams Zahl" Dimensionen AUF JEDEN FALL unvermeidbar ist, ein gleichfarbiges Quadrat zu produzieren.

Die Antwort auf Rons Frage ist also irgendwo da draussen... Irgendwo zwischen 13 und Grahams Zahl.
Genauer muss man es ja auch wirklich nicht wissen, oder?
Ähem ... schauen wir mal ob ihr gleich immer noch der Meinung seid.

Ihr habt es nicht anders gewollt...
Hier kommt die Antwort auf die Frage die euch bestimmt schon unter den Nägeln brennt.

Wie groß ist "Grahams Zahl"?

➡️ Hier können unsere Lesefaulis wieder einsteigen. 😋

Groß.
Sehr sehr groß.
Unglaublich oft mal unvorstellbar groß.
Und ich würde euch zwar gerne hier einfach dreihundertachtunddrölfzig Seiten voller Ziffern mit Punkt 6 großer Schrift hinballern und auswendig lernen lassen.
Aber so einfach ist das nicht.
Diese Zahl ist so groß dass, und soweit ich das verstanden habe ist das nicht nur so dahergesagt sondern tatsächlich so, wenn ihr versuchen würdet sie euch zu merken, euer Kopf, wegen der darin gespeicherten Informationsmenge, zu einem schwarzen Loch kollabieren würde.

Quadrat-Einfarbig

Ohne Witz jetzt!
Das hat irgendwas mit Entropie zu tun.
"Dass die maximale Entropie die in eurem Kopf gespeichert werden kann mit einem schwarzen Loch der Größe eures Kopfs korreliert. Und dass die Entropie eines schwarzen Loches mit der Größe eures Kopfes weniger Information aufnehmen kann als die Information die ihre euch merken müsstet wenn ihr Grahams Zahl auswendig lernt" oder irgend so ein Zeug.
Ich habs nicht verstanden.
Aber wie cool, oder!?!

Vielleicht macht der Name des Caches jetzt auch für euch etwas mehr Sinn. 😊

Das bedeutet aber leider auch, dass ich euch, bevor es endlich soweit ist und ich versuche die wahre Größe von Grahams Zahl vor euch auszubreiten, eine andere Schreibweise für Zahlen beibringen muss die ich noch nicht kannte und die ihr vermutlich auch noch nicht kennt.
Und zwar... Achtung, jetzt wird es mathematisch...

Knuths Pfeilschreibweise

Es wird der neue Operator "↑" eingeführt.

So funktioniert der:

Ein Pfeil:

"a ↑ b" ist das Gleiche wie "a hoch b"

Und das ist das Gleiche wie "a * a * a * ..." (b mal)

`Beispiel "3 ↑ 3" = 3 ^ 3 = 3 * 3 * 3 = 27`

Zwei Pfeile:

"a ↑↑ b" ist das Gleiche wie "a ↑ a ↑ a ↑ ..." (b mal)

Und das ist wiederum das Gleiche wie "a hoch a hoch a hoch ..." (b mal),

was einem Potenzturm von "a"s entspricht, der "b" Stockwerke hoch ist (inkl. Basis).

❕Hinweis!: Bei mehreren Pfeilen (wie auch bei mehreren "hoch"s) hintereinander in einer Rechnung, wird RECHTS angefangen auszurechnen. "3^3^3" ist also "3^27" und nicht "27^3"❕

`Beispiel "3 ↑↑ 3" = 3 ↑ 3 ↑ 3 = 3 ^ 3 ^ 3 = 3 ^ 27 = 7625597484987`

Drei Pfeile:

"a ↑↑↑ b" ist das gleiche wie "a ↑↑ a ↑↑ a ↑↑ ..." (b mal):

`Beispiel "3 ↑↑↑ 3" = 3 ↑↑ 3 ↑↑ 3 = 3 ↑↑ 3 ↑ 3 ↑ 3 = 3 ↑↑ 3 ↑ 27 = 3 ↑↑ 3 ^ 27 = 3 ↑↑ 7625597484987`

Und wie wir im Schritt "Zwei Pfeile" schon gelernt haben, entspricht "3 ↑↑ 7625597484987" einem Potenzturm aus "3"ern, der "7625597484987" Stockwerke hat.

Alleine das auszurechnen ist mit mir bekannten Mitteln nicht mehr möglich, aber es ergibt ausgerechnet wohl eine Zahl mit ca. 3.600.000.000.000 (= 3,6 Billionen) Stellen
Youza!

Wollen wir jetzt eigentlich noch wissen was “3 ↑↑↑↑ 3” ist?
Natürlich wollen wir! 😁

Vier Pfeile:

"a ↑↑↑↑ b" ist das gleiche wie "a ↑↑↑ a ↑↑↑ a ↑↑↑ ..." (b mal):

`Beispiel "3 ↑↑↑↑ 3" = 3 ↑↑↑ 3 ↑↑↑ 3`

“3 ↑↑↑ 3” haben wir ja gerade vorher berechnet, das war diese 3,6 Billionen-stellige Zahl.
Also setzen wir diese ein und erhalten:

`3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ “3,6 Billionen-stellige Zahl”`

Und das ergibt ein Reihe aus 3 ↑↑ 3 ↑↑ 3 … ↑↑ 3 wobei diese Reihe “3,6 Billionen-stellige Zahl” 3er Einträge enthält.
Diese ewig lange Reihe müsste man dann von rechts anfangen auszurechnen… aber ich glaube das lassen wir lieber. Da kämen wir sehr schnell zu einem Brain Overflow.

Halten wir mal kurz inne um zusammenzufassen:

3 ↑ 3 = 27

3 ↑↑ 3 = Potenzturm aus 3 3-ern = 7625597484987

3 ↑↑↑ 3 = Potenzturm aus 7625597484987 3-ern = “3,6 Billionen-stellige Zahl”

3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ 3 ↑↑ 3… Reihe mit “3,6 Billionen-stellige Zahl” 3-ern = 🤯

Wir sehen also, das 1 Pfeil mehr zwischen 2 Zahlen das Ergebnis wahnsinnig erhöht.

So funktioniert also “Knuths Pfeilschreibweise”.

Jetzt ist es soweit.
Es geht an die Berechnung von Grahams Zahl.

Das Ergebnis von 3 ↑↑↑↑ 3 nennen wir G0.

Und nun müssen wir daraus G1 berechnen.
Das geht so:

`G1 = 3 ↑↑↑… 3`

Wobei die Anzahl der Pfeile zwischen den zwei 3-ern dem eben errechneten G0 entspricht.

Zur Erinnerung: Bereits 3 Pfeile zwischen zwei 3-ern ergab eine Zahl mit 3,6 Billionen Stellen.
Und jetzt wollen wir gerade eine Berechnung durchführen, bei der “3 ↑↑↑↑ 3” Pfeile zwischen zwei 3-ern stehen.

🤯🤯🤯

Setzt euch jetzt mal hin und denkt darüber nach, was für ein

M O N S T E R

von Zahl ihr hier vor euch habt.

`3 [↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑…(Zahl mit 3,6 Billionen Stellen mal ↑)] 3`

Wer jetzt aber glaubt dass G1 bereits Grahams Zahl ist, den muss ich enttäuschen.
Ein paar Gs müssen wir noch nach oben. 🙂

Jetzt ist also G2 dran.

`G2 = 3 ↑↑↑… 3`

Wobei die Anzahl der Pfeile zwischen den zwei 3-ern dem eben errechneten G1 entspricht.

Also:

`G0 = 3 [ 4 Pfeile ] 3`

`G1 = 3 [ G0 Pfeile ] 3`

`G2 = 3 [ G1 Pfeile ] 3`

Und Endspurt.

Wenn wir diese Reihe jetzt weiterführen, sieht das also so aus:

`G3 = 3 [ G2 Pfeile ] 3`

`G4 = 3 [ G3 Pfeile ] 3`

`G5 = 3 [ G4 Pfeile ] 3`

...
...
...

`G62 = 3 [ G61 Pfeile ] 3`

`G63 = 3 [ G62 Pfeile ] 3`

Und jetzt kommts...

`G64 = 3 [ G63 Pfeile ] 3`

Und G64 ist Grahams Zahl

Eine Zahl so massiv… ich kann gar nicht… ich weiß gar nicht wie…
…
…
…

Einfach nur FANTASTISCH.

Und noch einmal: Diese Zahl wurde NICHT einfach nur aus Jux und Dollerei erdacht sondern wurde KONSTRUKTIV in einem mathematischen Beweis verwendet.

Wenn ein Würfel in G64 Dimensionen existiert, kann beim Einfärben all seiner Linien in 2 Farben nicht verhindert werden, dass ein 2D Quadrat entsteht, dessen 6 Linien in der gleichen Farbe eingefärbt sind.

Irre, oder? Wie kommt man denn auf sowas? 😵😵
Also mich hat das echt umgehauen.

Koordinatenberechnung

So, jetzt gibts aber auch noch eine Kleinigkeit für euch zu tun.
Schliesslich wolltet ihr ja keine Vorlesung besuchen, sondern eine Cachedose finden.

Und dafür gilt es jetzt ein paar Berechnungen anzustellen:

`Anzahl Linien 5D Hyperwürfel`

`AB = ----------------------------`

`Anzahl Ecken 4D Hyperwürfel`

Hinweis: Es handelt sich nicht um die Kanten des 5D Würfels, sondern um die Linien die entstehen, wenn man jede Ecke mit jeder anderen verbindet!

`CD = Quersumme (2 ↑↑ 4)`

`EFGH = Jahr in dem “Grahams Zahl” veröffentlicht wurde`

Die Zahlen A bis H würde ich mir notieren, vielleicht braucht ihr sie ja nochmal… 😉

`X.XXX = AACDFH + ABCDG - ACDE`

`Y.YYY = ACEFGH + BCFG + CCD`

Den Cache findet ihr hier:

`N 50° 1X.XXX’`

`E008° 1Y.YYY’`

Wenn ihr euch durch die unendlichen Weiten von Grahams Zahl durchgearbeitet und dann auch noch die Dose gefunden habt, dürft ihr zur Belohnung auch ein neues Banner zu eurem Profil hinzufügen. Das habt ihr euch verdient.

Einbindung über diesen Code:
<a href="https://coord.info/GC7N543"> <img src="https://s3.amazonaws.com/gs-geo-images/49ce7897-0689-4a89-b42e-86ca4f5e8872.png" alt="WIF01-G64"></a>

Inspiration und Quelle: Youtube-Kanal “numberphile”

Additional Hints (Decrypt)

Ibtryunhf na gbgrz Onhz(fghzcs)

Decryption Key

A|B|C|D|E|F|G|H|I|J|K|L|M
-------------------------
N|O|P|Q|R|S|T|U|V|W|X|Y|Z

(letter above equals below, and vice versa)

WIF01 - Graham sehen und sterben Mystery Cache

Watch

Geocache Description:

WIF - Wissenschaft Ist Fantastisch

Grahams Zahl

Was ist so besonders an Grahams Zahl und wofür wurde sie verwendet?

Wie groß ist "Grahams Zahl"?

Knuths Pfeilschreibweise

Ein Pfeil:

Beispiel "3 ↑ 3" = 3 ^ 3 = 3 * 3 * 3 = 27

Zwei Pfeile:

Beispiel "3 ↑↑ 3" = 3 ↑ 3 ↑ 3 = 3 ^ 3 ^ 3 = 3 ^ 27 = 7625597484987

Drei Pfeile:

Beispiel "3 ↑↑↑ 3" = 3 ↑↑ 3 ↑↑ 3 = 3 ↑↑ 3 ↑ 3 ↑ 3 = 3 ↑↑ 3 ↑ 27 = 3 ↑↑ 3 ^ 27 = 3 ↑↑ 7625597484987

Vier Pfeile:

Beispiel "3 ↑↑↑↑ 3" = 3 ↑↑↑ 3 ↑↑↑ 3

3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ “3,6 Billionen-stellige Zahl”

G1 = 3 ↑↑↑… 3

🤯🤯🤯

Setzt euch jetzt mal hin und denkt darüber nach, was für ein

M O N S T E R

von Zahl ihr hier vor euch habt. 3 [↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑…(Zahl mit 3,6 Billionen Stellen mal ↑)] 3

G2 = 3 ↑↑↑… 3

G0 = 3 [ 4 Pfeile ] 3

G1 = 3 [ G0 Pfeile ] 3

G2 = 3 [ G1 Pfeile ] 3

G3 = 3 [ G2 Pfeile ] 3

G4 = 3 [ G3 Pfeile ] 3

G5 = 3 [ G4 Pfeile ] 3

G62 = 3 [ G61 Pfeile ] 3

G63 = 3 [ G62 Pfeile ] 3

G64 = 3 [ G63 Pfeile ] 3

Und G64 ist Grahams Zahl

Eine Zahl so massiv… ich kann gar nicht… ich weiß gar nicht wie… … … … Einfach nur FANTASTISCH.

Koordinatenberechnung

Anzahl Linien 5D Hyperwürfel

AB = ----------------------------

Anzahl Ecken 4D Hyperwürfel

CD = Quersumme (2 ↑↑ 4)

EFGH = Jahr in dem “Grahams Zahl” veröffentlicht wurde

X.XXX = A*A*C*D*F*H + A*B*C*D*G - A*C*D*E

Y.YYY = A*C*E*F*G*H + B*C*F*G + C*C*D

N 50° 1X.XXX’

E008° 1Y.YYY’

Attributes

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