Na úvodných súradniciach kešku nehľadaj. Pre jej nájdenie si prečítaj nasledujúci text.
Ťažko by ste dnes v modernej spoločnosti našli ľudí, ktorý nikdy nepoužili GPS, či už pri ceste do práce, na dovolenku, alebo na turistike. Resp. takých, ktorý o tom ani nikdy nepočuli. Špeciálnou kategóriou sme my, kešeri, ktorí túto technológiu používajú možno najviac - na hľadanie krabičiek poschovávaných kade-tade. Často sa zabúda, aké množstvo technológie sa za týmto navigačným systémom skrýva. A ešte viac sa zabúda na to, koľko je tu schovanej zaujímavej fyziky. A práve na tú fyziku sa dnes pozrieme.
No schválne, kto z vás už niekedy počul, že za GPS môžme byť vďační (okrem iných samozrejme) samotnému Albertovi Einsteinovi? Práve jeho slávna teória relativity hrá totiž v GPS systéme obrovskú rolu. A vašou úlohou bude spočítať, akú.
Špeciálna teória relativity
So špeciálnou teóriou relativity prišiel Einstein v roku 1905. Je založená na dvoch postulátoch - jednak všetky fyzikálne zákony musia platiť rovnako vo všetkých inerciálnych sústavách (inerciálna sústava = sústava ktorá sa pohybuje rovnomerným priamočiarym pohybom alebo sa nepohybuje vôbec), a dvak že rýchlosť svetla je vo všetkých inerciálnych sústavách rovnaká. Nejdem vás teraz nudiť nejakými zbytočnými detailami, internet je predsa plný informácii. Čo je pre GPS dôležité, je jeden z dôsledkov týchto dvoch postulátov, nazývaný dilatácia času. Tá zjednodušene hovorí o tom, že čas plynie pomalšie, keď sa hýbeme. Samozrejme že pri bežných rýchlostiach, aké dosahujeme v aute či v lietadle, je tento efekt absolútne zanedbateľný. No aby sa taký GPS satelit udržal na obežnej dráhe, na to už potrebuje celkom slušnú rýchlosť. A tento efekt tam začína byť cítiť.
Poďme teda na konkrétne zadanie. GPS satelity obiehajú zem vo výške h = 20180 km nad povrchom zeme. Z jednoduchej rovnice, ktorá hovorí o tom, že dostredivá sila sa musí rovnať gravitačnej príťažlivej sile, si vieme poľahky spočítať, akou rýchlosťou sa tento satelit pohybuje:
\(\frac{mv^2}{R_z+h}=\frac{GM_zm}{(R_z+h)^2}\)
V tomto vzorci G označuje gravitačnú konštantu, Rz označuje polomer zeme (použite hodnotu 6371 km), Mz označuje hmotnosť zeme, m označuje hmotnosť satelitu a v označuje rýchlosť satelitu. V satelite máme teda hodiny, ktoré sa pohybujú rýchlosťou v vzhľadom na pozorovateľa na zemi (pre zjednodušenie uvažujme, že pozorovateľ sa nachádza na severnom póle). Pre dilatáciu času platí vzťah, že kým u nás prejde medzi dvomi udalosťami čas t0, v pohybujúcej sa sústave medzi tými istými udalosťami prejde čas t1 daný rovnicou:
\(t_1=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)
Keďže rýchlosť satelitu v je vždy menšia ako rýchlosť svetla c, môžte si všimnúť, že výsledok bude vždy väčší ako t0, teda na satelite prejde medzi tými istými udalosťami viac času a to znamená, že čas na satelite beží pomalšie. A prvá otázka teda znie: o koľko mikrosekúnd budú hodiny na satelite zaostávať oproti tým na zemi presne 24 hodín po tom, čo sme ich naposledy zosynchronizovali - kvôli špeciálnej teórii relativity? Odpoveď zaokrúhlite na jedno desatinné miesto a poznačte si ju ako A,B µs. (A aj B sú číslice, výsledok je teda menší ako 10)
Všeobecná teória relativity
V roku 1916 publikoval Einstein aj všeobecnú teóriu relativity, ktorá je teóriou priestoru, času a gravitácie. Znovu nejdem zachádzať veľmi do hĺbky, ale základným princípom je, že gravitácia je vlastne len zakrivenie štvorrozmerného časopriestoru. Toto má opäť dôsledok aj na plynutie času - čas beží pomalšie v blízkosti ťažkých telies. Jedným takým ťažkým telesom je napríklad naša zem. A teda nám na zemi pôjdu hodiny pomalšie oproti tým na satelite! Zaujímavé - všeobecná teória relativity má v tomto prípade opačný účinok ako špeciálna teória relativity. V prípade všeobecnej teórie relativity platí, že kým u nás prejde medzi dvomi udalosťami čas t0, na satelite medzi tými istými udalosťami prejde čas t1 daný rovnicou:
\(t_1 = t_0\exp\left(\frac{\Phi_0-\Phi_1}{c^2}\right)\)
V tejto rovnici \(\Phi_0=-\frac{GM_z}{R_z}\) je gravitačný potenciál na povrchu zeme a \(\Phi_1=-\frac{GM_z}{R_z+h}\) je gravitačný potenciál na satelite. Aj tu si opäť môžete všimnúť, že priamo z rovnice je vidno, že čas na satelite bude plynúť rýchlejšie ako na zemi. Druhá otázka: o koľko mikrosekúnd budú hodiny na satelite popredu oproti tým na zemi presne 24 hodín po tom, čo sme ich naposledy zosynchronizovali - kvôli všeobecnej teórii relativity? Odpoveď zaokrúhlite jedno desatinné miesto a poznačte si ju ako CD,E µs. Všeobecná teória relativity má teda niekoľkonásobne silnejší efekt na hodiny na satelite ako špeciálna.
A aký je teda celkový efekt oboch častí teórie relativity? Všeobecná teória relativity hodiny na satelite urýchli denne o CD,E mikrosekúnd, zatiaľ čo špeciálna ich spomalí o A,B mikrosekúnd, čo dáva dokopy FG,H mikrosekúnd.
GPS
Teraz sa pravdepodobne pýtate - a ako toto celé vôbec súvisí s GPS??? Načo sme tu počítali nejaké hodiny? A aj tak nám pri tom vyšiel rozdiel pár mikrosekúnd za celý deň - to sa predsa musí stratiť!
Skúste sa zamyslieť nad tým, ako vám satelit vlastne prezradí vašu polohu. V prvom rade - presnú polohu nezískate iba z jedného satelitu, potrebujete ich viac. Každý satelit vám vie dať totiž iba jednu informáciu - jeho vzdialenosť od vás. Keď budete mať takýchto vzdialeností viac, pomocou "jednoduchej" trigonometrie už ľahko zistíte, kde presne sa nachádzate. Ale kľúčová otázka je: ako satelit vie, ako ďaleko sa od vás nachádza? Takáto vzdialenosť sa totiž nedá zmerať priamo nejakým metrom. Dá sa však vypočítať, napr. pomocou elementárneho vzorčeku
\(v=\frac{s}{t}\)
Teda keď neviem zmerať vzdialenosť priamo, môžem od jedného bodu k druhému poslať niečo, čo sa pohybuje konštantnou rýchlosťou, zmerať čas, za aký túto vzdialenosť prejde, a danú vzdialenosť už bez problémov spočítam. A čo také má konštantnú, a navyše dostatočne veľkú rýchlosť? No predsa svetlo, resp. akékoľvek elektromagnetické žiarenie. Takže, veľmi zjednodušene, naše GPS vyšle signál na satelit, ktorý bude obsahovať informáciu o tom, kedy presne bol signál odoslaný. Keď satelit tento signál príjme, môže spočítať, ako dlho to signálu trvalo, a tiež aj vzdialenosť, akú tento signál musel prejsť. A keďže sa signál hýbe obrovskou rýchlosťou, v zlomku sekundy máme odpoveď zo satelitu naspäť v našom zariadení! A práve v tomto momente hrá rolu veľmi vysoká presnosť synchronizácie hodín. Ako by to vyzeralo, keby hodiny mali už po jednom dni chybu FG,H mikrosekúnd? Spočítajte, akú nepresnosť v určení vzdialenosti nám dá takáto nepresnosť v určení času, keď vieme že signál sa pohybuje rýchlosťou svetla. Dostanete výsledok IJ,K kilometrov!!!!!
Viete si to predstaviť? Ako by sa asi hľadali kešky, keby máme navigáciu s presnosťou niekoľkých desiatok kilometrov? Pre niekoho to môže znieť ako obrovské množstvo výpočtov, ale tieto efekty sa skutočne berú do úvahy pri určovaní polohy, a aj vďaka tomu ju GPS dokáže určovať veľmi presne a hlavne stabilne. Toto je krásna ukážka toho, že každodenné fungovanie GPS navigácie je vlastne jeden z experimentálnych dôkazov Einsteinovej teórie relativity. A teda že teória relativity nie je len nejaký vzorec v dákej knižke, ale že reálne ovplyvňuje každého z vás. Skúste sa nad tým na chvíľku zamyslieť, keď budete nabudúce hľadať nejakú kešku.
Keška
Spočítali ste všetko, čo bolo treba? Tak už len do checkera zadajte všetky číslice ABCDEFGHIJK - bez medzier, desatinných čiarok či jednotiek, jednoducho zadajte 11 číslic. Checker vám prezradí finálne súradnice aj hint k nájdeniu kešky.
Ak by ste mali problém s výpočtami, alebo by sa vám niečo nezdalo, neváhajte mi napísať.